Περίμετρος από εμβαδόν

KARKAR · #1

: Περίμετρος από εμβαδόν.png (21.82 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Στον κύκλο (O,4)

εγγράφουμε τρίγωνο ABC

, τέτοιο ώστε : $AB \cdot AC =18$ .

Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου , όταν το εμβαδόν του καταστεί μέγιστο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 09, 2025 6:13 am
Περίμετρος από εμβαδόν.pngΣτον κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο , τέτοιο ώστε : $AB \cdot AC =18$ .

Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου , όταν το εμβαδόν του καταστεί μέγιστο .

$\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}AB \cdot AC\sin A \leqslant \frac{1}{2}AB \cdot AC = 9 \Leftrightarrow {(ABC)_{mac}} = 9,BC = 8$

$\displaystyle {(AB + AC)^2} = 64 + 36 = 100 \Leftrightarrow AB + AC = 10 \Rightarrow$ $\boxed{2s=18}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 09, 2025 6:13 am
Περίμετρος από εμβαδόν.pngΣτον κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο , τέτοιο ώστε : $AB \cdot AC =18$ .

Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου , όταν το εμβαδόν του καταστεί μέγιστο .

Μπορούμε καλύτερα: Μπορούμε να βρούμε τις ίδιες τις πλευρές (η λύση του Γιώργου ουσιαστικά τις δίνει).

Επειδή η μέγιστη δυνατή πλευρά ενός τριγώνου σε έναν κύκλο είναι όσο η διάμετρος, έχουμε

$E= \dfrac {abc}{4R}\le \dfrac {2Rbc}{4R}= \dfrac {bc}{2}=9$ με ισότητα όταν a=2R=8

. Αλλά τότε η $\angle A =90$ αφού βλέπει διάμετρο.

Με άλλα λόγια το μέγιστο τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο, και άρα οι πλευρές του ικανοποιούν b^2+c^2=a^2=64

. Μαζί με την bc=18

παίρνουμε $b=5-\sqrt 7, \, c= 5+\sqrt 7$ , ή ανάποδα. Φυσικά έχει περίμετρο $(5-\sqrt 7)+(5+\sqrt 7)+8=18$ .

Αν θέλουμε, παρ' όλο που περιττεύει, μπορούμε να ελέγξουμε ότι το (ορθογώνιο) τρίγωνο με πλευρές $b=5-\sqrt 7, \, c= 5+\sqrt 7, \,a= 8$ έχει εμβαδόν

, που είναι το μέγιστο δυνατό:

$E = \frac {1}{2}b c=\frac {1}{2} (5-\sqrt 7)(5+\sqrt 7)=9$ . Όλα καλά.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 09, 2025 6:13 am
Περίμετρος από εμβαδόν.pngΣτον κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο , τέτοιο ώστε : $AB \cdot AC =18$ .

Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου , όταν το εμβαδόν του καταστεί μέγιστο .

: περίμετρος κι εμβαδόν_Ανάλυση.png (19.46 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Επειδή $\beta \gamma = 2r{\upsilon _\alpha }$ , εδώ θα ισχύει $bc = 8AD \Rightarrow AD = \dfrac{9}{4}$ με

το ύψος του $\vartriangle ABC$ .

Αρκεί από κάποιο σημείο $B \ne A$ να φέρω εφαπτομένη στον κύκλο $\left( {O,\dfrac{9}{4}} \right)$ .

Για να πετύχω το μέγιστο εμβαδόν αρκεί η

να είναι και διάμετρος του κύκλου $\left( {A,\,B,C} \right)$ .

Κατασκευή – Απάντηση .

: περίμετρος κι εμβαδόν_Κατασκευή.png (26.65 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Η πολική του

ως προς τον κύκλο $\left( {O,\dfrac{9}{4}} \right)$ τον τέμνει σε δύο σημεία . Έστω

το ένα απ’ αυτά.

Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

. Η ευθεία

τέμνει τον κύκλο $\left( {A,\,B,C} \right)$ στα B,C

. Έστω

.

Θα ισχύουν ταυτόχρονα , $bc = 18\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{b^2} + {c^2} = {8^2}$ κι έχω : $b = - \sqrt 7 + 5\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = \sqrt 7 + 5\,$ οπότε $\boxed{a + b + c = 18}$

Το ίδιο αποτέλεσμα έχω κι όταν AB < AC

Περίμετρος από εμβαδόν

Περίμετρος από εμβαδόν

Re: Περίμετρος από εμβαδόν

Re: Περίμετρος από εμβαδόν

Re: Περίμετρος από εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση