ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σε τρισορθογώνιο τετράεδρο OABC

, με

κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας, έστω a,b,c

οι δίεδρες γωνίες που σχηματίζει η έδρα ABC

με τις έδρες OBC,OAC,OAB

αντίστοιχα. Έστω

το ύψος του τετραέδρου που αντιστοιχεί στην έδρα ABC

και έστω

οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα της έδρας ABC.

Να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle tana+tanb+tanc=\frac{2R+2r}{h}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

: AΘΡΟΙΣΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ.png (295.98 KiB) Προβλήθηκε 1190 φορές

Aφού στο πρόβλημα δεν δόθηκε λύση, ας γράψω τη δική μου. Η πρόταση προέκυψε ψάχνοντας κάτι άλλο...

Έστω

το ίχνος του ύψους

του τετραέδρου OABC

που αντιστοιχεί στην έδρα ABC.

Αφού το τετράεδρο OABC

είναι τρισορθογώνιο, είναι σίγουρα ορθοκεντρικό. Άρα το

είναι το ορθόκεντρο της έδρας ABC.

Έστω

το ίχνος του ύψους της έδρας OAB

που άγεται από το

Aπό το θεώρημα των τριών καθέτων προκύπτει ότι

κάθετη στην AB.

To

είναι λοιπόν ύψος της έδρας ABC

και ως τέτοιο περιέχει το ορθόκεντρο

της έδρας αυτής.

Ας επικεντρωθούμε στο ορθογώνιο τρίγωνο OCP

στο οποίο το

είναι ύψος προς την υποτείνουσα CP.

Ισχύει ότι
$c=C\hat{P}O=C\hat{O}H.$

Άρα μπορεί να γραφεί ότι
$\displaystyle tanc=tanC\hat{O}H=\frac{HC}{OH}=\frac{HC}{h}$

Mε αντίστοιχες σκέψεις μπορεί να προκύψει ότι

$\displaystyle tanb=\frac{HB}{h}$ και $\displaystyle tana=\frac{HA}{h}$

Αν θυμηθούμε τη γνωστή από την Επιπεδομετρία ισότητα HA+HB+HC=2R+2r,

η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Η ισότητα μπορεί να σταθεί και ως ανεξάρτητο θέμα.
Αν κάποιος θέλει μπορεί να γράψει απόδειξη της ισότητας αυτής.
Η Επιπεδομετρία είναι απαραίτητη για τη Στετρεομετρία.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Θα αποδειχθεί ότι στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC

ισχύει $\displaystyle HA+HB+HC=2R+2r$

Ας θυμηθούμε την παλιά Τριγωνομετρία...

To

είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC.

$\displaystyle cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^{2}\frac{C}{2}=2sin\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-2sin^{2}\frac{C}{2}+1=$

$\displaystyle2sin\frac{C}{2}\left ( cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{C}{2} \right )+1=2sin\frac{C}{2}\left ( cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2} \right )+1=1+4sin\frac{C}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{A}{2}=$

$\displaystyle 1+4\frac{r}{IA}\cdot \frac{r}{IB}\cdot \frac{r}{IC}=1+4\frac{r^{3}}{IA\cdot IB\cdot IC}=1+4\frac{r^{3}}{4r^{2}R}=1+\frac{r}{R}$

H ισότητα $IA\cdot IB\cdot IC=4r^{2}R$ προκύπτει από την παρακάτω δημοσίευση
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=23179

Αν θυμηθούμε ότι

HA=2RcosA, HB=2RcosB, HC=2RcosC

oλοκληρώνεται η απόδειξη.

Aν κάποιος θέλει να γράψει διαφορετική απόδειξη, μπορεί να το κάνει.

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

Μέλη σε σύνδεση