Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

[ksofsa]

σχήμα 1.png (261.32 KiB) Προβλήθηκε 2528 φορές

σχήμα 2.png (233.66 KiB) Προβλήθηκε 2528 φορές

Η απάντηση για το 2ο θέμα είναι όμοια με την απάντηση του κυρίου Κώστα (rek2).

H απάντηση για το 1ο θέμα είναι πρωτοεμφανιζόμενη στο thread.

[ksofsa]

Βάζω άλλη μια απάντηση για το 2ο θέμα.

Η μέθοδος γενικά είναι ότι χωρίζουμε το σχήμα σε δύο ομάδες κύκλων, ώστε κάθε ομάδα ως ενιαίο σχήμα να έχει κέντρο συμμετρίας. Ενώνοντας τα κέντρα συμμετρίας των 2 ομάδων, σχηματίζουμε τη ζητούμενη ευθεία.

άλλο σχήμα για το θέμα 2.png (222.19 KiB) Προβλήθηκε 2524 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

.
Αναρτώ την χαριτωμένη λύση που έχω κατά νου: Προσθέτουμε στο σχήμα έναν κύκλο, τον πορτοκαλί. Τώρα το σχήμα είναι συμμετρικό και μπορούμε να το χωρίσουμε σε δύο ίσα μέρη με ευθεία που περνάει από κέντρο του νέου κύκλου και από το κέντρο του συμμετρικού του.

Η εν λόγω ευθεία χωρίζει το νέο σχήμα σε δύο ίσα μέρη, άρα και το αρχικό αφού τώρα μπορούμε να αφαιρέσουμε/πετάξουμε τον (διχοτομημένο) πορτοκαλί κύκλο.
.

[ksofsa]

Καλημέρα.

Θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο/παρατήρηση. Αν με την έννοια ''διαμέριση του σχήματος σε δύο ομάδες κύκλων'' θεωρήσουμε ότι οι δύο ομάδες κύκλων δίνουν το αρχικό σχήμα είτε με πρόσθεση των δύο ομάδων είτε με αφαίρεση της μιας από την άλλη (''αλγεβρική'' έννοια της διαμέρισης), τότε η ιδέα του κυρίου Λάμπρου σε συνδυασμό με τη μέθοδο που πρότεινα οδηγούν σε μια γενικότερη μεθοδολογία.

Η μέθοδος γενικά είναι ότι χωρίζουμε το σχήμα σε δύο ομάδες κύκλων, ώστε κάθε ομάδα ως ενιαίο σχήμα να έχει κέντρο συμμετρίας. Ενώνοντας τα κέντρα συμμετρίας των 2 ομάδων, σχηματίζουμε τη ζητούμενη ευθεία.

[Mihalis_Lambrou]

Ημικύκλιο σε τετράγωνο. Να βρεθεί το γαλάζιο εμβαδόν συναρτήσει των μηκών των δύο χορδών.

(Κάνει και για νεαρούς μαθητές)
.

[KARKAR]

exypn.png (21.38 KiB) Προβλήθηκε 2379 φορές

Ο κύκλος διαμέτρου , είναι ο : . Συνεπώς : .

Ομοίως : . Αλλά : .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ημικύκλιο σε τετράγωνο. Να βρεθεί το γαλάζιο εμβαδόν συναρτήσει των μηκών των δύο χορδών.

(Κάνει και για νεαρούς μαθητές)
.

Αν και θα έχουμε

Από την ομοιότητα των τριγώνων και παίρνουμε

Εύκολα τώρα από την παίρνουμε με

εξαιρετικής.....png (33.91 KiB) Προβλήθηκε 2352 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Από ένα κανονικό δωδεκάγωνο πλευράς αποκόπτουμε τα 12 εικονιζόμενα ισόπλευρα τρίγωνα (όπως π.χ. το γκρίζο). Πόσο είναι το εμβαδόν του δωδεκάκτινου αστεριού που απομένει;

(Την είδα ως άσκηση πριν από μερικά χρόνια σε ένα Γερμανικό περιοδικό που απευθύνεται σε μαθητές. Με εντυπωσίασε τόσο η κομψότητα της λύσης όσο και η απλότητα του αποτελέσματος. Χαρείτε την αλλά παρακαλώ χωρίς αθέμιτα μέσα. Ο νοών νοείτω.)

[george visvikis]

Από ένα κανονικό δωδεκάγωνο πλευράς αποκόπτουμε τα 12 εικονιζόμενα ισόπλευρα τρίγωνα (όπως π.χ. το γκρίζο). Πόσο είναι το εμβαδόν του δωδεκάκτινου αστεριού που απομένει;

(Την είδα ως άσκηση πριν από μερικά χρόνια σε ένα Γερμανικό περιοδικό που απευθύνεται σε μαθητές. Με εντυπωσίασε τόσο η κομψότητα της λύσης όσο και η απλότητα του αποτελέσματος. Χαρείτε την αλλά παρακαλώ χωρίς αθέμιτα μέσα. Ο νοών νοείτω.)

Με νόμο συνημιτόνου στο βρίσκω, Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

Ωραίο εμβαδόν.ΜΛ.png (13.35 KiB) Προβλήθηκε 1585 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Από ένα κανονικό δωδεκάγωνο πλευράς αποκόπτουμε τα 12 εικονιζόμενα ισόπλευρα τρίγωνα (όπως π.χ. το γκρίζο). Πόσο είναι το εμβαδόν του δωδεκάκτινου αστεριού που απομένει;

(Την είδα ως άσκηση πριν από μερικά χρόνια σε ένα Γερμανικό περιοδικό που απευθύνεται σε μαθητές. Με εντυπωσίασε τόσο η κομψότητα της λύσης όσο και η απλότητα του αποτελέσματος. Χαρείτε την αλλά παρακαλώ χωρίς αθέμιτα μέσα. Ο νοών νοείτω.)

.
Αναρτώ την κομψή λύση που είδα εκεί από όπου άντλησα την άσκηση:

Γ'ύρω γύρω στην περιφέρεια του δωδεκαγώνου υπάρχουν 12 ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς , τα γκρι. Μετακινούμε κάθε δεύτερο στην θέση που δείχνει το σχήμα δεξιά. Θα σχηματιστούν τώρα έξι (λευκά) τετράγωνα πλευράς . To συνολικό τους εμβαδόν, που βέβαια είναι , είναι όσο το αρχικό λευκό αστέρι (το συνολικό λευκό εμβαδόν δεν άλλαξε με τις μετακινήσεις). Άρα το αστέρι έχει εμβαδόν .
,

[Mihalis_Lambrou]

α) Στο αριστερό σχήμα δίνονται τετράγωνα, από τα οποία τα δύο μικρά έχουν πλευρά ίση με (και άρα το διπλάνό τους έχει πλευρά ). Το τέταρτο τετράγωνο είναι τυχαίου μεγέθους. Πόσο είναι το εμβαδόν του γαλάζιου τριγώνου;

β) Ομοίως, αλλά για το δεξί σχήμα.

Σχολιάζω ότι οι δύο ασκήσεις λύνονται με παρόμοιο τρόπο και, περιέργως, η απάντηση είναι ανεξάρτητη του μεγέθους του τυχαίου τετραγώνου.
.

[KARKAR]

lam.png (27.82 KiB) Προβλήθηκε 1510 φορές

[STOPJOHN]

α) Στο αριστερό σχήμα δίνονται τετράγωνα, από τα οποία τα δύο μικρά έχουν πλευρά ίση με (και άρα το διπλάνό τους έχει πλευρά ). Το τέταρτο τετράγωνο είναι τυχαίου μεγέθους. Πόσο είναι το εμβαδόν του γαλάζιου τριγώνου;

β) Ομοίως, αλλά για το δεξί σχήμα.

Σχολιάζω ότι οι δύο ασκήσεις λύνονται με παρόμοιο τρόπο και, περιέργως, η απάντηση είναι ανεξάρτητη του μεγέθη#BFFFFF].[/color]

Για το πρώτο σχήμα