Δύσκολη διχοτόμος

KARKAR · #1

: Δύσκολη διχοτόμος.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC)

, το

είναι το μέσο της

και το

τυχόν σημείο της

.

Εντοπίστε σημείο

της

, τέτοιο ώστε η

να είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BSP}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 06, 2025 3:42 am
Στο ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το τυχόν σημείο της .

Εντοπίστε σημείο της , τέτοιο ώστε η να είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BSP}$ .

.
Μπορούμε πιο γενικά: Δεν χρειάζεται να υποθέσουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, ούτε να θεωρώσουμε ότι το

είναι μέσον της πλευράς. Το κάνω για τυχαίο τρίγωνο ABC

και τυχαία $M,\,P$ στις δύο πλευρές.

Προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει την

στο

. Γράφουμε τώρα τον κύκλο του Απολλωνίου των σημείων

με

. Εκεί που ο κύκλος αυτός τέμνει την

είναι το ζητούμενο σημείο

. H θεωρία γνωστή.
.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 06, 2025 3:42 am
Δύσκολη διχοτόμος.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το τυχόν σημείο της .

Εντοπίστε σημείο της , τέτοιο ώστε η να είναι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BSP}$ .

Ας είναι σταθερό $\vartriangle ABC$ με σταθερά σημεία $M\,\,,\,\,P$ των πλευρών του $BC\,\,,CA$ .

Έστω ακόμα ο, σταθερός κύκλος $\left( {M,d} \right)$ , με

τη σταθερή απόσταση του

από την

.

Η πολική του

ως προς αυτόν τον κύκλο είναι σταθερή και τέμνει εν γένει σε δύο σημεία τον κύκλο .

: Δύσκολη διχοτόμος_new.png (35.29 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Αν

το ένα απ’ αυτά , η

τέμνει την

στο

που θέλω

Το πιο από τα δυο επιλέγω εξαρτάται από τις θέσεις των $M\,\,,\,\,P$ πάνω στις $BC\,\,,\,\,AC$

Ίσως γι’ αυτό έδωσε το είδος του τριγώνου ABC

και τη θέση του

στην

, ο Θανάσης.

KARKAR · #4

: Δύσκολη ... συνέχεια.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Στην λύση του Μιχάλη , ίσως απαιτείται μια συμπλήρωση για την περίπτωση που $PM \parallel AB$ .

Θέτω ένα ερώτημα , που ίσως βοηθήσει να δοθεί μια ακόμα διαφορετική απάντηση στο αρχικό :

Αν AB=AC=5

,

και

μέσο της

, να υπολογισθεί το τμήμα

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 06, 2025 10:42 am
Στην λύση του Μιχάλη , ίσως απαιτείται μια συμπλήρωση για την περίπτωση που $PM \parallel AB$ .

.
Σωστά.

Ευτυχώς ο συλλογισμός που έδωσα συμπεριλαμβάνει και αυτή την περίπτωση ως την εκφυλισμένη εκδοχή: Όταν οι AB, PM

είναι παράλληλες, δηλαδή τέμνονται στο άπειρο, τότε ο κύκλος του Απολλωνίου δίνει PM=PS

. Οπότε απλά λαμβάνουμε το

στην τομή της

και του κύκλου κέντρου

και ακτίνας

. Τότε λόγω παραλληλίας και από το ισοσκελές τρίγωνο PSM

έχουμε τρεις ίσες γωνίες, τις $\theta$ . Ειδικά, η

είναι η ζητούμενη διχοτόμος.
.

KARKAR · #6

: Δύσκολη β..png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Από το

φέρουμε την εφαπτομένη προς τον κύκλο (M , MT)

η οποία τέμνει την

στο ζητούμενο

.

( Η αναφορά της πολικής μάλλον περιττεύει

) . Αν

, από τα όμοια τρίγωνα MSB , PMC

( γιατί είναι όμοια ; ) , παίρνουμε : $\dfrac{d}{a/2}=\dfrac{a/2}{BS}$ , συνεπώς : $BS=\dfrac{a^2}{4d}$ . ( Μιλάμε για το ισοσκελές ) .

Dimessi · #7

Κατ αρχάς $\displaystyle h_{c}=\frac{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2b}$
Από θαλή $\displaystyle d(M,AB)=\frac{h_{c}}{2}$
Ο κύκλος διαμέτρου

επανατέμνει τον κύκλο $\displaystyle (M,\frac{h_{c}}{2})$ στο

Το

εντοπίζεται ως $\displaystyle PQ\cap AB$
Η διχοτόμος μιας γωνίας ως γεωμετρικός τόπος γνωστή.
Η βασική παρατήρηση είναι ότι στο τρίγωνο APS

το

είναι το

παράκεντρο.

Δύσκολη διχοτόμος

Δύσκολη διχοτόμος

Re: Δύσκολη διχοτόμος

Re: Δύσκολη διχοτόμος

Re: Δύσκολη διχοτόμος

Re: Δύσκολη διχοτόμος

Re: Δύσκολη διχοτόμος

Re: Δύσκολη διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση