Σύγκριση διαδρομών

[KARKAR]

Σύγκριση διαδρομών.png (28.09 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Το σημείο είναι ο βόρειος πόλος ενός κύκλου , η είναι μια οριζόντια χορδή και το είναι σημείο

του ( μικρού ) τόξου . Επί της ημιευθείας θεωρούμε σημεία εκατέρωθεν του , τέτοια

ώστε : . Να συγκριθούν τα αθροίσματα : .

[Mihalis_Lambrou]

Το σημείο είναι ο βόρειος πόλος ενός κύκλου , η είναι μια οριζόντια χορδή και το είναι σημείο

του ( μικρού ) τόξου . Επί της ημιευθείας θεωρούμε σημεία εκατέρωθεν του , τέτοια

ώστε : . Να συγκριθούν τα αθροίσματα : .

.
Θα δείξω ότι η μικρότερη διαδρομή είναι η (πράσινη στο αρχικό σχήμα). Για τις δύο μεγαλύτερες έχω μόνο μακροσκελή λύση με Αναλυτική Γεωμετρία και πολλές πράξεις, και το αφήνω. Θα επανέλθω αν βρω κάτι καλύτερο.

Φέρνουμε το συμμετρικό του ως προς την , οπότε έχουμε τώρα να συγκρίνουμε τα ίσα μα τα αρχικά μήκη . Θα δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά, όπότε αυτό μας δίνει αμέσως ότι η μικρότερη διαδρομή είναι η .

Πράγματι, από το ισοσκελές τρίγωνο έχουμε . Επίσης από το εγγράψιμο είναι , άρα

που δείχνει την ζητούμενη συνευθειακότητα.
.

[Mihalis_Lambrou]

... Θα επανέλθω αν βρω κάτι καλύτερο.

.
H απάντηση είναι εδώ όπου μετέφερε ο θεματοθέτης Θανάσης το σημείο που άφησα αναπάντητο. Στην εν λόγω παραπομπή έχει μεταφερθεί το σχήμα , αλλά με άλλα γράμματα. Σύμφωνα με το εκεί συμπέρασμα έχουμε



Τελικό συμπέρασμα