Ημικατασκευή

KARKAR · #1

: Ημικατασκευή.png (5.51 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο είναι γνωστή η υποτείνουσα BC=a

, καθώς

και το τμήμα DC=a/2

, (

είναι η απόσταση του ίχνους της διχοτόμου

από την κορυφή

) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 24, 2025 7:49 pm
Ημικατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο είναι γνωστή η υποτείνουσα , καθώς

και το τμήμα , ( είναι η απόσταση του ίχνους της διχοτόμου από την κορυφή ) .

Αν

, από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε $\dfrac {x}{a}= \dfrac {AD}{a/2}$ . Άρα $AD=\dfrac {x}{2}$ . Από το Πυθαγόρειο έχουμε

$\displaystyle{x^2+\left (\dfrac {x}{2}+\dfrac {a}{2}\right )^2=a^2}$ , οπότε $x=\dfrac {3}{5}a, \,y= \dfrac {3}{10}a$ . Άρα το τρίγωνο έχει πλευρές

$\displaystyle{AB= \dfrac {3}{5}a, \, AC= \dfrac {3}{10}a+ \dfrac {1}{2}a= \dfrac {4}{5}a, \, BC=a}$ . Ουσιαστικά είναι το τρίγωνο 3-4-5

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 24, 2025 7:49 pm
Ημικατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο είναι γνωστή η υποτείνουσα , καθώς

και το τμήμα , ( είναι η απόσταση του ίχνους της διχοτόμου από την κορυφή ) .

Ελάχιστα διαφορετικά.

$\displaystyle \frac{a}{2} = DC = \frac{{ab}}{{a + c}} \Leftrightarrow 2b = a + c$ κι επειδή a^2=b^2+c^2,

καταλήγω

στη σχέση $\displaystyle (a,b,c) = \left( {a,\frac{{4a}}{5},\frac{{3a}}{5}} \right)$ και η κατασκευή είναι πλέον απλή.

KARKAR · #4

Στην κατασκευή αυτή , οι υπολογισμοί οδηγούν ταχύτερα στο αποτέλεσμα . Παραθέτω και μία χωρίς υπολογισμούς :

: Ημικατασκευή.png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

Στο άκρο

του τμήματος BC=a

, υψώνω το κάθετο τμήμα CN=a/2

και ονομάζω

την τομή του κύκλου

(C , CN)

με την

. Η προβολή του σημείου

στην ημιευθεία

, είναι το ζητούμενο σημείο

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 24, 2025 7:49 pm
Ημικατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο είναι γνωστή η υποτείνουσα , καθώς

και το τμήμα , ( είναι η απόσταση του ίχνους της διχοτόμου από την κορυφή ) .

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {BOC}$ και μέσα σ αυτό τα ημικύκλια διαμέτρων $BO\,\,,\,\,OC$ .

Η μεσοκάθετη στην ακτίνα

τέμνει το αντίστοιχο ημικύκλιο στο

και ο κύκλος $\left( {L,LO} \right)$ τέμνει το ημικύκλιο
.

: Ημικατασκευή πλήρης κατασκευή.png (36 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

.
διαμέτρου

στο σημείο ( ακόμα )

. $\widehat {BEC} = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat {OLC} = 135^\circ$ .

Έστω ,

, το συμμετρικό του

ως προς την

. Η ευθεία

τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο ( ακόμα ) στο

.

Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω . Απόδειξη προφανής .

Γιατί Θανάση τόση βιάση να μας δείξεις τη λύση σου ;

Μη ξεχνάς ότι ως θεματοδότης: είτε είναι δικής σου κατασκευής , είτε όχι μια άσκηση, έχεις το πλεονέκτημα.

Η συγκεκριμένη μάλλον είναι δικής σου κατασκευής , είναι δε καλή .

KARKAR · #6

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 25, 2025 11:34 am

Γιατί Θανάση τόση βιάση να μας δείξεις τη λύση σου ;

Νίκο νιώθω άσχημα όταν διαπιστώνω ότι υπάρχει λύτης που ήθελε να ανεβάσει λύση και έχει προηγηθεί

εκείνη του θεματοδότη . Απλά οι "συνήθεις " λύτες απαντούν - κατά κανόνα - στο πρώτο δωδεκάωρο από

την δημοσίευση της άσκησης , οπότε ... Και πάλι

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 24, 2025 7:49 pm
Ημικατασκευή.pngΝα κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο είναι γνωστή η υποτείνουσα , καθώς

και το τμήμα , ( είναι η απόσταση του ίχνους της διχοτόμου από την κορυφή ) .

Ανάλυση

Έστω

έγκεντρο του τριγώνου ABC

και $BI\cap (o)=E$ .

Τότε $\angle CIB=135^0 \Rightarrow \angle EIC=45^0 \Rightarrow \angle ICE=45^0 \Rightarrow CE=EI$

Λόγω ισότητας των τριγώνων DCI,ICO

θα είναι $\angle CIO=45^0 \Rightarrow OI \bot BE\Rightarrow BI=IE=CE$

Με Π.Θ εύκολα παίρνουμε $EC= \dfrac{a \sqrt{5} }{5} \Rightarrow OI=\dfrac{a \sqrt{5} }{10}$

Κατασκευή

Θεωρούμε τον κύκλο $(O, \dfrac{a \sqrt{5} }{10})$ και την εφαπτόμενη αυτού

και σ αυτήν σημείο

ώστε

Η

τέμνει το ημικύκλιο (o)

στο ζητούμενο σημείο

: Ημικατασκευή.png (22.61 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Ημικατασκευή

Ημικατασκευή

Re: Ημικατασκευή

Re: Ημικατασκευή

Re: Ημικατασκευή

Re: Ημικατασκευή

Re: Ημικατασκευή

Re: Ημικατασκευή

Μέλη σε σύνδεση