Μεσοσυνδετήριο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεσοσυνδετήριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 29, 2025 8:53 pm

Μεσοσυνδετήριο.png
Μεσοσυνδετήριο.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 1307 φορές
Οι ακτίνες OB, OA (=r) ενός κύκλου είναι κάθετες , το M είναι το μέσο της OB και το S

τυχόν σημείο της OA . Η κάθετη της BS στο S , τέμνει τον κύκλο στο P , ενώ η προέκταση

της BS , τον τέμνει στο T . Αν N είναι το μέσο της χορδής PT , υπολογίστε το τμήμα MN .


Λέξεις Κλειδιά:
μεσοσυνδετήριο
προέκταση
τυχόν
Κορυφή
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Μεσοσυνδετήριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi » Παρ Ιουν 13, 2025 3:55 pm

Επαναφορά γιατί είναι εξυπνούλα.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεσοσυνδετήριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 14, 2025 8:57 am

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 29, 2025 8:53 pm
 Μεσοσυνδετήριο.pngΟι ακτίνες OB, OA (=r) ενός κύκλου είναι κάθετες , το M είναι το μέσο της OB και το S

τυχόν σημείο της OA . Η κάθετη της BS στο S , τέμνει τον κύκλο στο P , ενώ η προέκταση

της BS , τον τέμνει στο T . Αν N είναι το μέσο της χορδής PT , υπολογίστε το τμήμα MN .
Ας είναι K το μέσο του OS και d = OS\,\,,\,\,r = OA = OB = OP = OT. Είναι , SN = NT = NP

Επειδή O{N^2} + N{P^2} = {r^2}\left( 1 \right) ( Π. Θ. στο \vartriangle NOP) και N{O^2} + N{S^2} = 2N{K^2} + \dfrac{{O{S^2}}}{2}\,\,\,\left( 2 \right) (πρώτο Θ. διαμέσων στο \vartriangle NOS )

Προκύπτει : \boxed{KN = \frac{{\sqrt {2{r^2} - {d^2}} }}{2}}\,\,\,\left( 3 \right) Επίσης \boxed{KM = \frac{{\sqrt {{r^2} + {d^2}} }}{2}}\,\,\,\left( 4 \right) . Η γωνία , \widehat {\theta _{}^{}}\,\,\, είναι παραπληρωματική της \widehat {MKN}.
Μεσοσυνδετήριο.png
Μεσοσυνδετήριο.png (45.23 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Με τη βοήθεια της δύναμης του σημείου S, ως προς τον κύκλο , \left( {O,r} \right) και το Θ. Haruki , προκύπτει ,

\boxed{\cos \theta = \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {\left( {2{r^2} - {d^2}} \right)\left( {{r^2} + {d^2}} \right)} }}}\,\,\,\left( 5 \right) Από τις \left( 3 \right)\,\,,\,\,\left( 4 \right)\,\,,\left( 5 \right) και το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle KMN έχω : \boxed{MN = \frac{r}{2}\sqrt 5 }


Κορυφή
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Μεσοσυνδετήριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi » Σάβ Ιουν 14, 2025 3:21 pm

Άμα πάρουμε το συμμετρικό Q του O ως προς το N θα έχουμε τον ρόμβο OTQP πλευράς R. Στην ουσία θέλουμε το \displaystyle \frac{QB}{2}.
Με \displaystyle OS=x και \displaystyle \angle OBS=\varthetaισχύουν
\displaystyle \frac{x}{R}=\frac{\sin \angle OPS}{\sin \vartheta}=\frac{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}{x}\sin \angle OPS\implies \sin \angle OPS=\frac{x^{2}}{R\sqrt{R^{2}+x^{2}}}
\displaystyle \angle QTB=\angle QTO+\angle BTO=180^{\circ}-\angle TOP+\angle BTO=180^{\circ}-\left( \angle POS-\angle TOS \right) +\angle BTO
=\displaystyle \angle OPS+\vartheta+\angle TOS+\angle BTO=\angle OPS+\vartheta+\angle BSO=90^{\circ}+\angle OPS
Από το θεώρημα τεμνόμενων χορδών
\displaystyle SB\cdot ST=SA\left( SO+R \right)\implies ST=\frac{\left( R-x \right)\left( R+x \right)}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\implies TB=\frac{2R^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}
\displaystyle QB^{2}=TB^{2}+R^{2}-2TB\cdot R\cos \left( 90^{\circ}+\angle OPS \right)=TB^{2}+R^{2}+2TB\cdot R\cdot \sin \angle OPS
=\displaystyle \frac{4R^{4}}{R^{2}+x^{2}}+\frac{R^{4}+R^{2}x^{2}}{R^{2}+x^{2}}+\frac{4R^{2}}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\cdot R\cdot \frac{x^{2}}{R\sqrt{R^{2}+x^{2}}}=5R^{2}\implies \frac{QB}{2}=\frac{R\sqrt{5}}{2}
Υπόψη ότι τα λερωμένα ημίτονα και συνημίτονα μπορούν να ξεβρωμίσουν με δύο ομοιότητες τριγώνων και ένα γενικευμένο πυθαγόρειο φέρνοντας τις κατάλληλες προβολές :) .


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης