Όριο με ουρά

Tolaso J Kos · #1

Με αφορμή αυτό το όριο ...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \frac{n \pi}{4} - \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{k^2+n^2} \right) = \frac{1}{4}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 07, 2025 6:21 pm
Με αφορμή αυτό το όριο ...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \frac{n \pi}{4} - \sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{k^2+n^2} \right) = \frac{1}{4}}$

.
Το ζητούμενο όριο είναι, γενικότερα, της μορφής $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} n \left( \int _a^b f(x) dx - \dfrac {b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{k}{n} \right ) \right)}$

όπου $f(x)= \dfrac {1}{1+x^2}$ , και $a=0,\, b=1$ .

Είναι γνωστό και απλό (και το έχουμε ξαναδεί αρκετές φορές στο φόρουμ) ότι για συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις

, το όριο αυτό ισούται με $\dfrac {b-a}{2}(f(a)-f(b))$ .

Δεν γράφω τα βήματα ως γνωστά, και υπάρχουν ως λυμένη ως άσκηση στο Polya, Szego, Problems and Theorems in Analysis, σελίς 49.

Όριο με ουρά

Όριο με ουρά

Re: Όριο με ουρά

Μέλη σε σύνδεση