Λόγος από καθετότητα

#1

: Λόγος τμημάτων από καθετότητα.png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Εκτός του τριγώνου ABC

κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ABE, ACF

και έστω

το μέσο του

και

το μέσο του CF.

Αν

είναι σημείο της πλευράς

πιο κοντά στο

ώστε $MD\bot DN,$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{BD}{DC}.$

giannimani · #2

Απάντηση: $\frac{BD}{DC}= 3$ .

Αιτιολόγηση: Σύντομα. Συμβολίζουμε με

το μέσο της

και με

το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου ABE

.
Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. Τότε, τα τρίγωνα AGF

και

είναι ίσα εφόσον AG=BG

,

και $\angle GAF=\angle GBZ= 90^{\circ}+\angle A$ . Επομένως, GF=GZ

, δηλαδή, το τρίγωνο GFZ

ισοσκελές, οπότε η διάμεσος

θα είναι
και ύψος, που σημαίνει ότι $\angle GKF=90^{\circ} \quad (1)$ .

: find_ratio_lem1.png (22.66 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Ερχόμαστε τώρα στο πρόβλημα. έστω

το μέσο του

. Είναι φανερό ότι $\frac{BD}{DC}= 3$ . Αρκεί να αποδείξουμε ότι
$\angle MDN= 90^{\circ}$ .
Από το τρίγωνο BMD

έχουμε $\frac{BK}{BD}=\frac{BG}{BM}=\frac{2}{3}$ , οπότε $KG\parallel DM\quad (2)$ .
Από το τρίγωνο FCK

έχουμε $ND \parallel FK\quad (3)$ (

,

μέσα των

,

αντίστοιχα).
Από τις (1), (2), (3) προκύπτει ότι $\angle MDN= 90^{\circ}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 22, 2025 10:53 am
Λόγος τμημάτων από καθετότητα.png
Εκτός του τριγώνου κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα και έστω το μέσο του και

το μέσο του Αν είναι σημείο της πλευράς πιο κοντά στο ώστε $MD\bot DN,$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{BD}{DC}.$

Πρώτα θα αποδείξουμε ότι MN=2ND

Απόδειξη

Με

ύψος του τριγώνου ABC

τα

είναι εγγράψιμμα.Άρα $\angle MQB=60^0$ και

$\angle NQC=30^0$ επομένως $\angle MQN=90^0$ συνεπώς ο κύκλος διαμέτρου

περνά από το

κι από το εγγράψιμμο MQDN

θα είναι $\angle DMN=30^0 \Rightarrow MN=2ND$

: Λόγος από καθετότητα 1.png (27.48 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Θεωρούμε τώρα

συμμετρικό του

ως προς

την κάθετη στην

στο

που

τέμνει την

στο

και το συμμετρικό

του

ως προς

Τότε ,

και προφανώς το τρίγωνο PAT

είναι ισόπλευρο (με κέντρο

),άρα

Eπομένως τα τρίγωνα AET,ABP

είναι ίσα αφού έχουν ακόμη AB=AE

και $\angle EAT= \angle PAB= \angle 60^0+BAT$

Έτσι $PB=ET=2MN=4ND \Rightarrow \dfrac{ND}{PB} = \dfrac{1}{4}= \dfrac{CN}{CP} \Rightarrow ND//PB \Rightarrow \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{PN}{NC}=3$

: Λόγος από καθετότητα 2.png (77.17 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Λόγος από καθετότητα

Λόγος από καθετότητα

Re: Λόγος από καθετότητα

Re: Λόγος από καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση