Ισότητα ανομοίων

KARKAR · #1

Α) Δείξτε ότι το πολυώνυμο : P(x)=x^3+2x^2-11x-6

, έχει μόνο μία θετική ρίζα .

: Ισότητα ανομοίων .png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Β) Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με :

, η διχοτόμος

είναι ίση

με την διάμεσο

, υπολογίστε - έστω κατά προσέγγιση - την υποτείνουσα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 19, 2025 1:01 pm
Α) Δείξτε ότι το πολυώνυμο : , έχει μόνο μία θετική ρίζα .

Ισότητα ανομοίων .pngΒ) Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , η διχοτόμος είναι ίση

με την διάμεσο , υπολογίστε - έστω κατά προσέγγιση - την υποτείνουσα .

Από το σχήμα, $\tan \theta = y\,\,,\,\,\tan 2\theta = \dfrac{{2y}}{{1 - {y^2}}}\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά από το $\vartriangle ABC$ , $\tan 2\theta = \dfrac{b}{2}$ έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει: $b = \dfrac{{4y}}{{1 - {y^2}}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Από τα Π. Θ. στα $\vartriangle AMC\,\,,\,\,\vartriangle ABD$ κι αφού MC = DB

προκύπτει : ${b^2} + 1 = 4\left( {{y^2} + 1} \right)$ που λόγω της

δίδει:

: Ισότητα ανομοίων.png (25.04 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

$\dfrac{{16{y^2}}}{{{{\left( {1 - {y^2}} \right)}^2}}} + 1 = 4\left( {{y^2} + 1} \right)$ , Θέτω $\boxed{{y^2} = x}\,\,$ κι έχω : $\dfrac{{16x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} + 1 = 4\left( {x + 1} \right) \Rightarrow \boxed{4{x^3} - 5{x^2} - 18x + 3 = 0}$ .

Η εξίσωση δίδει 3 πραγματικές ρίζες , μόνο μια, έστω ${x_0}$ , είναι δεκτή ( λόγω δεδομένων υπόθεσης) και τελικά , $\boxed{{y_0} = \sqrt {{x_0}} = 0,40054280}$

Το τρίγωνο ADB

κατασκευάζεται ( δεν ισχυρίζομαι Ευκλείδεια ) .

Μετά από το

φέρνω την εφαπτομένη στον κύκλο , $\left( {D,2{y_0}} \right)$ που τέμνει την

στο

.

α)
Για το αλγεβρικό ερώτημα της συνάρτησης , $f(x) = {x^3} + 2{x^2} - 11x - 6$ έχω,

$f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x - 11$ και για $x \geqslant 0$ έχει : $f\left( 0 \right) = - 6$ . στο διάστημα , $[0,\dfrac{{ - 2 + \sqrt {37} }}{3}]$ είναι γνήσια φθίνουσα .

Στο διάστημα , $[\dfrac{{ - 2 + \sqrt {37} }}{3}, + \infty )$ είναι γνήσια αύξουσα με $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = + \infty$ ,

οπότε έχει ακριβώς μια θετική ρίζα μεγαλύτερη από $\dfrac{{ - 2 + \sqrt {37} }}{3}$ .

: Ισότητα ανομοίων_algebriko.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές

Διαπιστώνω ότι η μεταβλητή στην περίπτωση του α ερωτήματος του Θανάση είναι το μήκος του .

Έτσι οι ασκήσεις αυτού του τύπου μπορούν να μην τοποθετούνται πια στην κατηγορία των «διασκευαστικών μαθηματικών» .

#3

α) Ακριβώς όπως ο φίλτατος Νίκος.

β) Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα ADB, ACM

έχω, $\displaystyle A{D^2} = C{M^2} \Leftrightarrow {b^2} + 1 = A{D^2} + 4$

Αλλά, $\displaystyle AD = \frac{{2b}}{{a + 2}},{b^2} = {a^2} - 4.$ Με αντικατάσταση και μετά τις πράξεις καταλήγω στην εξίσωση του α)

ερωτήματος $\displaystyle {a^3} + 2{a^2} - 11a - 6 = 0,$ που γνωρίζω ήδη ότι έχει μία θετική ρίζα. Τα υπόλοιπα αναλαμβάνει

το λογισμικό, $\boxed{x\simeq 2,7644}$

Ισότητα ανομοίων

Ισότητα ανομοίων

Re: Ισότητα ανομοίων

Re: Ισότητα ανομοίων

Μέλη σε σύνδεση