Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Al.Koutsouridis · #1

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη.

1. Έστω $P_{1}(x)$ και $P_{2}(x)$ δυο μονικά δευτεροβάθμια τριώνυμα, ενώ $A_{1}$ και $A_{2}$ οι κορυφές των παραβολών $y=P_{1}(x)$ και $y=P_{2}(x)$ αντίστοιχα. Με m(g(x))

θα συμβολίζουμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g(x)

. Είναι γνωστό ότι οι διαφορές $m(P_{1}(P_{2}(x))-m(P_{1}(x))$ και $m(P_{2}(P_{1}(x))-m(P_{2}(x))$ προέκυψαν ίσοι θετικοί αριθμοί. Να βρείτε την γωνία μεταξύ της ευθείας $A_{1}A_{2}$ και της ευθείας, που περιέχει τον άξονα

.

2. Ο Γιώργος διάλεξε 100

ανά δυο διαφορετικούς θετικούς αριθμούς, μικρότερους του

και τους τοποθέτησε σε κύκλο. Ύστερα εκτελεί με αυτούς πράξεις. Με μια πράξη μπορεί να διαλέξει τρεις αριθμούς στην σειρά a,b,c

(ακριβώς με αυτήν την διάταξη) και να αντικαταστήσει των αριθμό

με τον αριθμό a-b+c

. Για ποιο μέγιστο

ο Γιώργος μπορεί να διαλέξει τους αρχικούς αριθμούς και να κάνει μερικές πράξεις έτσι, ώστε μετά από αυτές μεταξύ των αριθμών να υπάρχουν

ακέραιοι.

3. Σε μια γραμμή είναι γραμμένοι οι αριθμοί $1, 2, 3, \ldots , 60$ (με αυτήν την σειρά). Ο Κωσταντίνος και η Ελένη με την σειρά τοποθετούν τα σύμβολα $+, - , \times$ μεταξύ αυτών, ξεκινάει ο Κωνσταντίνος. Με μια κίνηση ο καθένας τοποθετεί ένα σύμβολο. Όταν μεταξύ κάθε δυο γειτονικών αριθμών τοποθετείται ένα σύμβολο, υπολογίζεται η τιμή της προκύπτουσας έκφρασης. Αν αυτή διαιρείται με το

τότε κερδίζει ο Κωνσταντίνος, αλλιώς η Ελένη. Ποιος από τους δυο παίχτες μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του τι θα κάνει ο αντίπαλος;

4. Στην περίμετρο ενός τριγώνου ABC

επιλέχθηκαν τα σημεία $D_{1},D_{2},E_{1},E_{2},F_{1},F_{2}$ έτσι, ώστε όταν κινούμαστε περιμετρικά τα σημεία συναντώνται με την διάταξη $A, F_{1}, F_{2}, B, D_{1},D_{2}, C, E_{1}, E_{2}$ . Προέκυψε ότι $AD_{1}=AD_{2}=BE_{1}=BE_{2}=CF_{1}=CF_{2}$ . Να αποδείξετε ότι οι περίμετροι των τριγώνων, που σχηματίζονται από τις τριάδες των ευθειών $AD_{1}, BE_{1}, CF_{1}$ και $AD_{2}, BE_{2}, CF_{2}$ , είναι ίσες.

αρψ2400 · #2

3. Σε μια γραμμή είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1, 2, 3, \ldots , 60 (με αυτήν την σειρά). Ο Κωσταντίνος και η Ελένη με την σειρά τοποθετούν τα σύμβολα +, - , \times μεταξύ αυτών, ξεκινάει ο Κωνσταντίνος. Με μια κίνηση ο καθένας τοποθετεί ένα σύμβολο. Όταν μεταξύ κάθε δυο γειτονικών αριθμών τοποθετείται ένα σύμβολο, υπολογίζεται η τιμή της προκύπτουσας έκφρασης. Αν αυτή διαιρείται με το 3 τότε κερδίζει ο Κωνσταντίνος, αλλιώς η Ελένη. Ποιος από τους δυο παίχτες μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του τι θα κάνει ο αντίπαλος;

Ο Κωνσταντίνος έχει στρατηγική νίκης.Τοποθετεί πλην πρίν το 31 που είναι η κεντρική θέση .(συνήθης στρατηγική όταν έχουμε μονό αριθμό).Στη συνέχεια αν η Ελένη τοποθετήσει επί σε μία από τις θέσεις α _ α+1 ή 30+α _ 30+α+1 ο Κωνσταντίνος τοποθετεί επίσης επί στην άλλη .(για α=1,2,..,29).Έτσι τα γινόμενα θα έχουν την ίδια ισοτιμία modulo3 .Αν η Ελένη τοποθετήσει +/- σε μία από τις θέσεις α _ α+1 ή 30+α _ 30+α+1 ο Κωνσταντίνος τοποθετεί ανάποδα -/+ στην άλλη εξασφαλίζοντας την αφαίρεση των ίσων ισοτιμιών modulo3 και άρα τη διαιρετότητα με το 3.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (τάξη 9η, μέρα 2η)

Μέλη σε σύνδεση