Πόσο μακριά πέφτει

KARKAR · #1

: Πόσο μακριά πέφτει.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Στην ακτίνα

ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο

, τέτοιο ώστε : OQ=2QA

. Στην προέκταση

της

θεωρούμε σημείο

, από το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Η

ξανατέμνει

τον κύκλο στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα AS=x(r)

, ώστε να είναι : $\widehat{PTS}=90^0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 28, 2025 10:44 am
Πόσο μακριά πέφτει.pngΣτην ακτίνα ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : . Στην προέκταση

της θεωρούμε σημείο , από το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει

τον κύκλο στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα , ώστε να είναι : $\widehat{PTS}=90^0$ .

Θέτω

και έστω

το δεύτερο κοινό σημείο της

με τον κύκλο.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} ST \cdot SN = S{P^2} = {x^2} + 6ax \hfill \\ NT \cdot NS = 36{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{ST}}{{NT}} = \frac{{{x^2} + 6ax}}{{36{a^2}}}}$ (1)

$\displaystyle P{T^2} = ST \cdot TN\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} S{T^2} = \frac{{{x^2} + 6ax}}{{36{a^2}}}P{T^2} = SP^2 - P{T^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{PT = \frac{{6a\sqrt {{x^2} + 6ax} }}{{\sqrt {{x^2} + 6ax + 36{a^2}} }}}$ (2)

: Πόσο μακριά πέφτει.png (18.05 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο OPQ

κι επειδή $\displaystyle \cos (P\widehat OS) = \frac{{3a}}{{x + 3a}},$ βρίσκω $\displaystyle PQ = \frac{{a\sqrt {13x + 3a} }}{{\sqrt {x + 3a} }}$

Αλλά, $\displaystyle PQ \cdot QT = AQ \cdot QB = 5{a^2} \Rightarrow QT = \frac{{5a\sqrt {x + 3a} }}{{\sqrt {13x + 3a} }}.$ Τέλος επειδή PT=PQ+QT,

είναι

$\displaystyle \frac{{3(x + a)}}{{\sqrt {13{x^2} + 42ax + 9{a^2}} }} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 6ax} }}{{\sqrt {{x^2} + 6ax + 36{a^2}} }},$ απ' όπου , $\displaystyle x = \frac{{3a(\sqrt 5 + 1)}}{2}$ ή $\boxed{x(r)=r\phi}$

Ελπίζω να υπάρχει γρηγορότερος τρόπος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 28, 2025 10:44 am
Πόσο μακριά πέφτει.pngΣτην ακτίνα ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : . Στην προέκταση

της θεωρούμε σημείο , από το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει

τον κύκλο στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα , ώστε να είναι : $\widehat{PTS}=90^0$ .

Έστω

αντιδιαμετρικό του

.Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι

άρα , $CE= \dfrac{4r}{3} ,EZ= \dfrac{r}{3}$

Ισχύει $\dfrac{PC^2}{PS^2} = \dfrac{CT}{TS}= \dfrac{CE}{QS} \Rightarrow \dfrac{4r^2}{x(x+2r)}= \dfrac{ \dfrac{4r}{3} }{x+ \dfrac{r}{3} } \Leftrightarrow ...x^2-rx-r^2=0 \Rightarrow x=r \Phi$

: Πόσο μακριά πέφτει.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

#4

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Απρ 30, 2025 12:58 am

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 28, 2025 10:44 am
Πόσο μακριά πέφτει.pngΣτην ακτίνα ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : . Στην προέκταση

της θεωρούμε σημείο , από το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η ξανατέμνει

τον κύκλο στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα , ώστε να είναι : $\widehat{PTS}=90^0$ .
Έστω αντιδιαμετρικό του .Με συμμετρικό του ως προς είναι άρα , $CE= \dfrac{4r}{3} ,EZ= \dfrac{r}{3}$

Ισχύει $\dfrac{PC^2}{PS^2} = \dfrac{CT}{TS}= \dfrac{CE}{QS} \Rightarrow \dfrac{4r^2}{x(x+2r)}= \dfrac{ \dfrac{4r}{3} }{x+ \dfrac{r}{3} } \Leftrightarrow ...x^2-rx-r^2=0 \Rightarrow x=r \Phi$

Πόσο μακριά πέφτει.png

Πόσο μακριά πέφτει

Πόσο μακριά πέφτει

Re: Πόσο μακριά πέφτει

Re: Πόσο μακριά πέφτει

Re: Πόσο μακριά πέφτει

Μέλη σε σύνδεση