Λύσεις τῆς ἰδίας αὐτόνομης ἐξισώσεως

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Τροποποίηση τοῦ προηγούμενου θέματος, προσθέτοντας μία ἰδιότητα στὴν

καὶ ἀφαιρῶντας μία ἄλλη:

Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως ὅπου $f:\mathbb R\to\mathbb R,$ συνεχῶς διαφορίσιμη. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R,$ ὥστε

$\displaystyle{ \psi(t)=\varphi(t-\tau), }$

διὰ κάθε $t\in\mathbb R$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Κατ' αρχάς πρέπει να σημειωθεί ότι είναι αναγκαία η προσθήκη στην εκφώνηση
ενός επιπλέον δεδομένου όπως δείχνει το αντιπαράδειγμα:
$x^\prime=x$ με $\begin{cases} \varphi(s) &= e^s\\ \psi(t) &= -e^t \end{cases}$ ενώ $\varphi(s)>0>\psi(t)$ για κάθε s,t

Θα επιχειρήσουμε να δώσουμε λύση στο πρόβλημα υπό την εξής επιπλέον συνθήκη:
(η οποία λόγω του ζητουμένου δεν εξασθενεί το πρόβλημα)
ότι τα σύνολα τιμών των $\color{red}\psi,\varphi$ έχουν μη κενή τομή.

Έστω $s_o\in\mathbb{R}$ και $\varphi$ μια οποιαδήποτε λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης (εφ' εξής ΔΕ)
Θέτουμε $x_o=\varphi(s_o)$
Θα δείξουμε ότι για την $\varphi$ υπάρχουν δυο περιπτώσεις

Περίπτωση #1.
Αν f(x_o)=0

τότε η $\varphi$ είναι ταυτοτικά ίση με x_o

δηλαδή οι λύσεις με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ που λαμβάνουν ως τιμή μια ρίζα της είναι σταθερές

Πράγματι, παρατηρούμε ότι η σταθερή συνάρτηση $\varphi_o(s)=x_o$ είναι λύση της ΔΕ.
Επειδή η ΔΕ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelof
έπεται ότι για κάποιο $\varepsilon>0$ η $\varphi$ θα είναι ίση με τη $\varphi_o$ στο $[s_o-\varepsilon,s_o+\varepsilon]$

Αν το μη κενό σύνολο $K=\{s>s_o|\quad \varphi\overset{[s_o,s]}=\varphi_o\}$ είναι άνω φραγμένο τότε θέτουμε $s_1=\sup K$
Λόγω συνέχειας της $\varphi$ θα πρέπει $\varphi(s_1)=x_o$
Επικαλούμενοι έτι μια φορά το θεώρημα Picard-Lindelöf για την αρχική συνθήκη (s_1,x_o)

προκύπτει ότι $s_1<\sup K$ το οποίο είναι άτοπο οπότε το

δεν είναι άνω φραγμένο.
Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουμε τελικά στο ζητούμενο

Περίπτωση #2.
Θα αποδείξουμε ότι αν $f(x_o)\ne0$ τότε το σύνολο τιμών της $\varphi$ , έστω

, θα είναι ένα ανοιχτό διάστημα το οποίο:
$\bullet$ δεν περιέχει ρίζες της

$\bullet$ κάθε άκρο του θα είναι είτε ρίζα της

είτε ένα εκ των $\pm \infty$

Κατ' αρχάς το

είναι διάστημα αφού $D_\varphi=\mathbb{R}$
Η πρώτη ιδιότητα προκύπτει άμεσα από την περίπτωση #1. με εις άτοπον απαγωγή
Η δεύτερη ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί παρατηρώντας ότι εφ' όσον το

δεν περιέχει ρίζες της

,
η (συνεχής) $\varphi^\prime=f\circ \varphi$ δεν μηδενίζεται, διατηρεί πρόσημο, οπότε η $\varphi$ είναι γνησίως μονότονη.
Έπεται λοιπόν ότι το $I=\varphi(\mathbb{R})$ είναι το ανοιχτό διάστημα με άκρα τα $\lim\limits_{s\to\pm\infty}\varphi(s)$

Έτσι, αν ενδεικτικά θέσουμε $\ell=\lim\limits_{s\to+\infty}\varphi(s)$ τότε υπάρχουν δυο περιπτώσεις
$\bullet$ $\ell=+\infty$ ή $\ell=-\infty$
$\bullet$ $\ell\ne\pm\infty$ οπότε έστω αντίθετα από το ζητούμενο ότι $f(\ell)\ne0$
Θα ισχύει $\lim\limits_{s\to+\infty}\varphi^\prime(s)=f(\ell)\ne0$ (έστω $f(\ell)>0$ )
οπότε θα υπάρχει αρκούντως μεγάλο s_*

τέτοιο ώστε (ΘΜΤ) για κάθε s> s_*

να ισχύει
$\varphi(s)>\varphi(s_*)+\dfrac{f^\prime(\ell)}{2}(s-s_*)$
οπότε λαμβάνοντας στην τελευταία όριο $s\to+\infty$ κατά μέλη, έπεται ότι $\ell=+\infty$ άτοπο.

Θα προχωρήσουμε στις συναρτήσεις $\varphi,\psi$ του προβλήματος.
Συνδυάζοντας τις δυο παραπάνω περιπτώσεις συμπεραίνουμε ότι εφ' όσον τα σύνολα τιμών των $\varphi,\psi$ έχουν κοινά σημεία,
θα πρέπει οι συναρτήσεις αυτές να είναι είτε αμφότερες της περίπτωσης #1. είτε αμφότερες της περίπτωσης #2.
οπότε τα σύνολα τιμών τους θα πρέπει να είναι και ίσα.

Αν είμαστε στην περίπτωση #1. η ζητούμενη σχέση $\displaystyle{ \psi(t)=\varphi(t-\tau)}$ ισχύει τετριμμένα

Αν είμαστε στην περίπτωση #2. μπορούμε να αποδείξουμε το ζητούμενο αξιοποιώντας σχεδόν απαράλλακτα το ποστ
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 46#p373649
με μόνη διαφορά ότι πρέπει να προσαρμόσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

(αυτόθι)
με τον τρόπο που περιγράφεται στην επόμενη γραμμή:
$\displaystyle{F(X) = \int _{x_o}^X \dfrac {1}{f(x)} dx}$ με $X\in I$
όπου

είναι το κοινό σύνολο τιμών των $\psi,\varphi$ $\quad\blacksquare$

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Δυστυχῶς ἡ διατύπωση τοῦ προβλήματος μου εἶχε μία παράλειψη, καὶ συγκεκριμένα ὅτι ἡ λύση $\color{red}\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ εἶναι ἐπί.

Σὲ αὐτὴ τὴν περίπτωση, ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R,$ ὥστε

$\displaystyle{ \varphi(\tau)=\psi(0)=\xi. }$

Ἐπίσης, ἂν $\zeta(t)=\psi(t-\tau),$ τότε οἱ συναρτήσεις $\zeta,\varphi :\mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τοῦ προβλήματος ἀρχικῶν τιμῶν

$\displaystyle{ x'=f(x), \quad x(\tau)=\xi, }$

τὸ ὁποῖο ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος λύσεων, καθὼς ἡ

εἶναι συνεχῶς διαφορίσιμη καὶ ἄρα τοπικὰ Lipschitz, καὶ ἄρα $\varphi(t)=\psi(t-\tau)$ , διὰ κάθε $t\in\mathbb R.$

Γενικότερα ἰσχύει τὸ ἀκόλουθο ἀποτέλεσμα (συνέπεια τοῦ Picard-Lindelöf)

Ἔστω $f=f(t,x):D\to\R$ συνεχὴς, ὅπου $D\subset\mathbb R^2$ , ἀνοικτό, καὶ ἔστω ὅτι ἡ εἶναι τοπικὰ συνεχὴς Lipschitz ὡς πρὸς , δηλαδή, διὰ κάθε $K=[t_1,t_2]\times[x_1,x_2]\subset D,$ ὑπάρχει , ὥστε

$\displaystyle{ |f(t,x)-f(t,x')|\le L_K|x-x'|, }$

διὰ κάθε $(t,x), (t,x')\in K$ . Τότε διὰ κάθε $(\tau,\xi)\in D,$ τό πρόβλημα ἀρχικῶν τιμῶν

$\displaystyle{ x'=f(x), \quad x(\tau)=\xi, }$

ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος, δηλαδή, ἂν $\varphi_1:I_1\to\mathbb R,$ $\varphi_2:I_2\to\mathbb R,$ λύσεις τοῦ ἀνωτέρω, τότε οἱ $\varphi_1$ καὶ $\varphi_2$ ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρισμοῦ τους $I=I_1\cap I_2$ .

Λύσεις τῆς ἰδίας αὐτόνομης ἐξισώσεως

Λύσεις τῆς ἰδίας αὐτόνομης ἐξισώσεως

Re: Λύσεις τῆς ἰδίας αὐτόνομης ἐξισώσεως

Re: Λύσεις τῆς ἰδίας αὐτόνομης ἐξισώσεως

Μέλη σε σύνδεση