Ανισότητα

#1

Να αποδείξετε ότι $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, y.

Για ποιες ακέραιες τιμές των x, y

ισχύει η ισότητα;

#2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 03, 2025 4:04 pm
Να αποδείξετε ότι $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$ , για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
Για ποιες ακέραιες τιμές των ισχύει η ισότητα;

.
Ισοδύναμα (άμεσο) $x^2y^2-2x^2y-2xy^2+x^2+y^2+2x+2y+1 \ge 0$ ή αλλιώς $(xy-x-y-1)^2\ge 0$ , που ισχύει.

Έχουμε ισότητα όταν $xy-x-y-1=0\, (*)$ . Ειδικά είναι $y\ne 1$ αφού αυτή η τιμή δίνει -2=0

. H

λοιπόν δίνει ισοδύναμα $x=1+ \dfrac {2}{y-1}$ . Άρα οι δυνατές τιμές στους ακεραίους $x, \, y$ περιορίζονται στις περιπτώσεις $y-1= \pm 1, \pm 2$ . Π.χ. για την y-1=1

έχουμε αντίστοιχο

το

, δηλαδή

. Όμοια οι άλλες εκδοχές είναι οι $(x,y)=(-1,0),\, (2,3), \, (0,-1)$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Η ανισότητα είναι τριώνυμο.
Αν πάρουμε την διακρίνουσα αυτή θα βγει 0.κ.λ.π

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 13, 2025 9:45 am
Η ανισότητα είναι τριώνυμο.
Αν πάρουμε την διακρίνουσα αυτή θα βγει 0.κ.λ.π

Σωστά. Ας το δούμε:

Η παράσταση ως πολυώνυμο του

γράφεται

.

Τώρα μπορούμε να συνεχίσουμε με διάφορους τρόπους. Π.χ. παρατηρούμε ότι η παράσταση είναι της μορφής A^2x^2-2ABx+B^2

ή αλλιώς

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση