ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ konargyr14 Καλημέρα.

Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή σου και την απόδειξή σου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα, η απόδειξή μου για την πρόταση Β16. Έστω τα κέντρα των κύκλων με χορδές την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας αντίστοιχα. Λόγω της σχέσης επίκεντρης γωνίας και γωνίας χορδής - εφαπτομένης προκύπτει: , ενώ όμοια είναι: . Όμως , αφού η γωνία που ορίζουν η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος γωνίας είναι ορθή. Άρα με πρόσθεση κατά μέλη των πρώτων δύο σχέσεων προκύπτει: . Αν η τέμνει την ευθεία στο , τότε απο την παραλληλία και έπεται . Συνεπως τα σημεία ταυτίζονται και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, από το οποίο έπεται ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται, αφού διαφορετικά αν υπήρχε δέυτερο σημείο τομής τους, έστω τότε το μέσον του και το σημείο θα άνηκαν και τα δύο στην , που είναι άτοπο.

Κωνσταντίνος

1.png

.
Κωνσταντίνε, ενδιαφέρουσα η απόδειξή σου αλλά αξίζει να προσθέσω ότι το θέμα έχει ουσιαστικά απαντηθεί με απλούστατο τρόπο (ακριβέστερα με δύο απλούστατους τρόπους) στα ποστ #329 και #336 εδώ.

Ακριβέστερα, η παραπάνω άσκηση είναι μικρή προσθήκη χωρίς αλλαγή στην ουσία στην παραπομπή που παρέθεσα. Συγκεκριμένα, η άσκηση στην παραπομπή μιλάει (μόνο) για την εσωτερική διχοτόμο αλλά εδώ έχουμε και την εξωτερική:

Όπως έδειξα στα ποστ #329 και #336, ο κύκλος με διάμετρο την εσωτερική διχοτόμο εφάπτεται στο της εφαπτομένης στον περιγεγραμμένο κύκλο. Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο δείχνουμε το ίδιο για την εξωτερική διχοτόμο. Συνεπώς οι κύκλοι με διαμέτρους την εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο εφάπτονται μεταξύ τους στο . Τελειώσαμε.

[konargyr14]

Καλησπέρα, η απόδειξή μου για την πρόταση Β16. Έστω τα κέντρα των κύκλων με χορδές την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας αντίστοιχα. Λόγω της σχέσης επίκεντρης γωνίας και γωνίας χορδής - εφαπτομένης προκύπτει: , ενώ όμοια είναι: . Όμως , αφού η γωνία που ορίζουν η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος γωνίας είναι ορθή. Άρα με πρόσθεση κατά μέλη των πρώτων δύο σχέσεων προκύπτει: . Αν η τέμνει την ευθεία στο , τότε απο την παραλληλία και έπεται . Συνεπως τα σημεία ταυτίζονται και άρα τα σημεία είναι συνευθειακά, από το οποίο έπεται ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται, αφού διαφορετικά αν υπήρχε δέυτερο σημείο τομής τους, έστω τότε το μέσον του και το σημείο θα άνηκαν και τα δύο στην , που είναι άτοπο.

Κωνσταντίνος

1.png

.
Κωνσταντίνε, ενδιαφέρουσα η απόδειξή σου αλλά αξίζει να προσθέσω ότι το θέμα έχει ουσιαστικά απαντηθεί με απλούστατο τρόπο (ακριβέστερα με δύο απλούστατους τρόπους) στα ποστ #329 και #336 εδώ.

Ακριβέστερα, η παραπάνω άσκηση είναι μικρή προσθήκη χωρίς αλλαγή στην ουσία στην παραπομπή που παρέθεσα. Συγκεκριμένα, η άσκηση στην παραπομπή μιλάει (μόνο) για την εσωτερική διχοτόμο αλλά εδώ έχουμε και την εξωτερική:

Όπως έδειξα στα ποστ #329 και #336, ο κύκλος με διάμετρο την εσωτερική διχοτόμο εφάπτεται στο της εφαπτομένης στον περιγεγραμμένο κύκλο. Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο δείχνουμε το ίδιο για την εξωτερική διχοτόμο. Συνεπώς οι κύκλοι με διαμέτρους την εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο εφάπτονται μεταξύ τους στο . Τελειώσαμε.

Έχετε δίκιο κύριε Λάμπρου... δεν το είχα προσέξει.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟ

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥ4ΡΟ

[Mihalis_Lambrou]

β17. Από σημείο κύκλου, φέρουμε τρεις χορδές, με διαμέτρους τις οποίες, γράφουμε τρεις κύκλους. Να αποδειχθεί ότι το μήκος της περιφέρειας καθενός από τους τρεις παραπάνω κύκλους επί το μήκος της κοινής χορδής των δύο άλλων κύκλων, είναι τρία γινόμενα ίσα.

Είναι άμεσο από την απλή παρατήρηση ότι αν έχουμε δύο χορδές και αν η κοινή χορδή των δύο κύκλων με διαμέτρους τις τότε . Η απόδειξη αυτού είναι δύο γραμμές: Επειδή έπεται (ως γνωστόν) ότι τα είναι συνευθειακά. Άρα από τον Νόμο των ημιτόνων έχουμε

, από όπου το ζητούμενο.

Πίσω στην άσκηση: Αν έχουμε τρεις χορδές κοινές χορδές ανά ζεύγη των κύκλων με διαμέτρους τις χορδές τότε και κυκλικά. Άρα

σταθερό. Τελειώσαμε.

[Mihalis_Lambrou]

β17. Από σημείο κύκλου, φέρουμε τρεις χορδές, με διαμέτρους τις οποίες, γράφουμε τρεις κύκλους. Να αποδειχθεί ότι το μήκος της περιφέρειας καθενός από τους τρεις παραπάνω κύκλους επί το μήκος της κοινής χορδής των δύο άλλων κύκλων, είναι τρία γινόμενα ίσα.

.
Είναι άμεσο από την απλή παρατήρηση ότι αν έχουμε δύο χορδές και αν η κοινή χορδή των δύο κύκλων με διαμέτρους τις τότε . Η απόδειξη αυτού είναι δύο γραμμές: ...

.
Τελικά μπορούμε να κάνουμε απλούστερη απόδειξη, της μίας γραμμής, που αναδεικνύει και την ουσία του παραπάνω:

Το εμβαδόν τριγώνου με δύο διαφορετικούς τρόπους δίνει . Άρα . Τελειώσαμε.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β17

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 6, Σελίδα βιβλίου 192 ψηφιακή 198, Πρόταση 6ι(31),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1HkhS6E ... EOwb6/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 192, ψηφιακή 198, παράγραφος 6ι(131).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Με την Γεωμετρία αναπτύσσεται η ερευνητική ικανότητα, η κρίση και η λογική σκέψη. Είναι ίσως η μόνη επιστήμη που ασκεί το πνεύμα με απόλυτη αυστηρότητα.

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Γνωστής μας Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β18 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β18. Δύο τρίγωνα είναι ομολογικά, αν η κάθε μία πλευρά, του ενός τουλάχιστον από τα δύο τρίγωνα, τέμνεται ισοτομικά από ζεύγος πλευρών του άλλου τριγώνου.

Δική μου απόδίιξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Υπενθύμιση. Η Ελλάδα θεωρείται διεθνώς κοιτίδα και χορηγός της Μαθηματικής σκέψης και δεν επιτρέπεται σήμερα καμιά υστέρηση από Έλληνες.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟΝ

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη Γνωστού μας Θεωρήματος.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β19 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β19. Κάθε κεντρική δέσμη τεσσάρων ακτινών, της οποίας μια τυχαία διατέμνουσα είναι παράλληλη σε μια ακτίνα της, διχοτομείται από τις τρεις υπόλοιπες ακτίνες της, αν και μόνο αν, η δέσμη αυτή είναι αρμονική.

Δική μου απόδίιξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σωστός αγωνιστής είναι εκείνος που βάλλεται και πονά, αλλά συνεχίζει να αγωνίζεται.

[konargyr14]

Καλησπέρα.
Ονομάζουμαι τις ακτίνες από "αριστερά προς τα δεξιά" (όπως φαίνεται στο σχήμα).Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η διατέμνουσα , με σημεία των αντίστοιχα, τέμνει την στο . Έστω ευθεία που περνά από το και δεν είναι παράλληλη προς την τέμνει τις ακτίνες στα αντίστοιχα. Αρκεί να δείξουμε ότι το είναι μέσον της αν και μόνον αν η τετράδα είναι αρμονική. Έχουμε:

λόγω της παραλληλίας και

, αφού τα τρίγωνα είναι όμοια λόγω της παραλληλίας .

Έτσι έχουμε:



που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Κωνσταντίνος

5.PNG (36.68 KiB) Προβλήθηκε 4193 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητέ konargyr14 Καλημέρα.

Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή σου και την απόδειξή σου.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος Β19

Αγαπητοί φίλοι,
Την πρωτοεμφανιζόμενη απόδείξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 3, Σελίδα βιβλίου 339 ψηφιακή 349, Πρόταση 2ζ(60),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1YBEELC ... Lkre9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 339, ψηφιακή 349, παράγραφος 2ζ(60).

Παρακαλώ για τις νέες δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Υπενθύμιση.«Στείλτε μου τα Θεωρήματα και εγώ θα σας βρω τις αποδείξεις».

Χρύσιππος.

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟΝ

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη του παραπάνω Θεωρήματος Β20

Αγαπητοί φίλοι,
Την πρωτοεμφανιζόμενη απόδείξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 3, Σελίδα βιβλίου 262, ψηφιακή 272, Πρόταση 2ζ(15),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1YBEELC ... Lkre9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 262, ψηφιακή 272, παράγραφος 2ζ(15).

Παρακαλώ για τις νέες δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Γεωμετρία, Το μεγάλο Κομμάτι του πολιτισμού μας.

[ΝΙΚΟΣ]

Ειδική περίπτωδση γνωστού Θεωρήματος.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β21 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β21. Οι τρεις ευθείες, που συνδέουν τις κορυφές τργώνου με τα αντίστοιχα ήχνη των διχοτόμων των γωνιών του μεσοτριγώνου του, στις αντίστοιχες πλευρές του, συντρέχουν.

Δική μου απόδίιξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Η γνώμη του Γκαίτε ήταν:
Ότι είναι ο νους και η καρδιά για τον άνθρωπο, είναι η Ελλάδα για την ανθρωπότητα"..

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασης Β21

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 7, Σελίδα βιβλίου 360, ψηφιακή 369, Πρόταση 7ι(188),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/17DsqXK ... m99Zs/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 360, ψηφιακή 369 , παράγραφος 7ι(188).

Παρακαλώ για τις νέες δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
ΕΓΡΑΨΑΝ- ΕΙΠΑΝ, εδώ:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
Στο βιβλίο με τίτλο το «ΓΙΓΑΝΤΙΟ ΕΥΧΑΡΙΣΤΏ» μου

[ΝΙΚΟΣ]

Ειδική περίπτωδση γνωστής Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β22 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

Β22. Σε κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο πεντάπλευρο, του οποίου τα τέσσερα ύψη συντρέχουν, στο ίδιο σημείο συντρέχει και το πέμπτο ύψος του.

Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Όταν υπάρχει θέληση και αγάπη γι αυτό που κάνεις, καμιά δύναμη δεν μπορεί να σε σταματήσει.

[Mihalis_Lambrou]

Β22. Σε κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο πεντάπλευρο, του οποίου τα τέσσερα ύψη συντρέχουν, στο ίδιο σημείο συντρέχει και το πέμπτο ύψος του.

.
Πρώτα απ΄ όλα δεν χρειάζεται να υποθέσουμε ότι το πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο. Μας αρκεί και χωρίς αυτή την υπόθεση, η οποία υποθέτω ότι προστέθηκε εκ παραδρομής.

Από εκεί και πέρα το αποτέλεσμα είναι απόλυτα άμεσο και, ούτως ή άλλως, ο συλλογισμός είναι ακριβώς ο ίδιος με την περίπτωση των τριγώνων (απόδειξη του Carnot ότι τα ύψη συγκλίνουν, αλλά η οποία ήταν γνωστή και στον Απολλώνιο, όπως τεκμαίρεται από την Συναγωγή του Πάππου). Άλλωστε γενικεύεται και σε Ν-γωνα των οποίων συντρέχουν τα N-1 ύψη. Πράγματι, αν τα ύψη από τα συντρέχουν στο τότε ισχύουν οι






Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε , δηλαδή το βρίσκεται στην κάθετo από το στην , όπως θέλαμε.

Κατά την γνώμη μου (όπως άλλωστε έγραψα στο ποστ # για μία ανάλογη περίπτωση) δεν έχει νόημα να ονομάζουμε πρωτοεμφανιζόμενες κάποιες προτάσεις με απλές αποδείξεις των δύο γραμμών και μάλιστα με κοινότατο επιχείρημα. Θα τις έβλεπα ως ένα απλό βήμα σε μία σε μία πιο απαιτητική απόδειξη, χωρίς ανάγκη επισήμανσης.
.