Αναδιάταξη ψηφίων

#1

Για τους θετικούς ακεραίους

και

, υποθέτουμε ότι ο αριθμός 2^r

προκύπτει από αναδιάταξη των ψηφίων του αριθμού 2^s.

Να δείξετε ότι r=s

.

αρψ2400 · #2

Έστω $r \geq s$ (η περίπτωση $r \leq s$ είναι παρόμοια).
Τότε $\[10^{d-1} \leq 2^s\leq 2^r < 10^{d}$ για κάποιο φυσικό

$r = s + \upsilon$ με $\upsilon =0,1,2,3$ ,διότι 2^4 > 10

Κάθε αριθμός είναι ισουπόλοιπος με το άθροισμα των ψηφίων του $(\text{mod } 9)$ .
Άρα αφού έχουμε απλώς αναδιάταξη
$2^r \equiv 2^s \pmod{9}$ ή αφού το

και το

είναι πρώτοι μεταξύ τους :
$2^{r - s}\equiv 1 \pmod{9}$ ή $2^\upsilon \equiv 1 \pmod{9}$
από όπου έχουμε $\upsilon = 0$ δηλαδή r= s

.

Αναδιάταξη ψηφίων

Αναδιάταξη ψηφίων

Re: Αναδιάταξη ψηφίων

Μέλη σε σύνδεση