Διαπλεκόμενο τρίγωνο

#1

Σε τρίγωνο ABC

με ύψος

ισχύει

Αν

είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου

και r, r_a

οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και του

παρεγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

$\displaystyle \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = 1$

Ο εγγεγραμμένος κύκλος (I,r)

και ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτονται εσωτερικά.

#2

Για το 4:

Έστω

το μέσο της

. Αρκεί να δείξουμε ότι

a/2 -r = IM

ή

(*)

Έστω

το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου και της BC.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο IEM

είναι

ή

Η τελευταία ισότητα με τη βοήθεια της 2) δίνει την (*).

#3

Εκκρεμούν τα ερωτήματα ειδικά το πάνω στο οποίο βασίζεται η απόδειξή του Κώστα.

#4

Από την υπόθεση είναι h_a=2(s-a)

και άμεσα

Άρα

οπότε

Από τα ορθογώνια τρίγωνα IEB,IEC

είναι