Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (8η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 8η τάξη

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι δυο μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί, ένας εκ των οποίων προκύπτει από τον άλλον με αναδιάταξη των ψηφίων. Μπορεί άραγε η διαφορά τους να ισούται με ; (η αναπαράσταση φυσικού αριθμού δεν μπορεί να ξεκινάει με το μηδέν.)

Πρόβλημα 2. Στο κοινό συμπόσιο ψευτών (πάντα λένε ψέματα) και ψευτοάριστων (πάντα λένε την αλήθεια) μαζεύτηκαν συμμετέχοντες, μεταξύ των οποίων δεν είναι όλοι ψεύτες και δεν είναι όλοι ψευτοάριστοι. Κάθε δυο συμμετέχοντες είτε γνωρίζονται, είτε δεν γνωρίζονται μεταξύ τους. Ο καθένας τους για τον καθένα εκ των υπόλοιπων απάντησε «ναι» ή «όχι» στην ερώτηση «Γνωρίζεστε;». ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των απαντήσεων «ναι» που μπορεί να προέκυψε;

Πρόβλημα 3. Στην πλευρά ενός τρίγωνου σημειώθηκε σημείο (διάφορο των και ) και φέρθηκε η διάμεσος . Προέκυψε ότι . Είναι άραγε απαραίτητο ότι το τρίγωνο θα είναι αμβλυγώνιο;

Πρόβλημα 4. Μπορούμε άραγε σε άπειρο τετραγωνισμένο επίπεδο να τοποθετήσουμε άπειρο αριθμό σκακιστικών ίππων (το πολύ ένα ίππο σε κάθε κελί) έτσι, ώστε κάθε ίππος να απειλεί ακριβώς άλλους; Θυμίζουμε, ότι ο σκακιστικός ίππος απειλεί κελιά όπως απεικονίζεται στο σχήμα.

ιππος.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 2001 φορές

Πρόβλημα 5. Σε κύκλο βρίσκονται αριθμοί (όχι απαραίτητα ακέραιοι). Είναι γνωστό ότι το γινόμενο οποιονδήποτε αριθμών διαφέρει από το γινόμενο των υπόλοιπων το πολύ κατά . Να αποδείξετε ότι κάποιοι δυο γειτονικοί αριθμοί διαφέρουν το πολύ κατά .

Πρόβλημα 6. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο διαμερίστηκε σε τρίγωνα, το καθένα εκ των οποίων είναι είτε ορθογώνιο, είτε ισοσκελές. Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους, όλα τα ισοσκελή επίσης. Είναι άραγε απαραίτητο ότι όλες οι γωνίες των ισοσκελών τριγώνων θα διαιρούνται με ;

[mick7]

Ναι πχ

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι δυο μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί, ένας εκ των οποίων προκύπτει από τον άλλον με αναδιάταξη των ψηφίων. Μπορεί άραγε η διαφορά τους να ισούται με ; (η αναπαράσταση φυσικού αριθμού δεν μπορεί να ξεκινάει με το μηδέν.)

[Mihalis_Lambrou]

Ναι πχ

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι δυο μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί, ένας εκ των οποίων προκύπτει από τον άλλον με αναδιάταξη των ψηφίων. Μπορεί άραγε η διαφορά τους να ισούται με ; (η αναπαράσταση φυσικού αριθμού δεν μπορεί να ξεκινάει με το μηδέν.)

Πιστεύω ότι το πνεύμα της άσκησης είναι να βρούμε όλα τα παραδείγματα, όχι απλά ένα σκόρπιο: Η άσκηση είναι από απαιτιτικό Μαθηματικό Διαγωνισμό, όχι Λογιστικής.

Πρόχειρα κοιτώντας (δεν έχω τον χρόνο για παρισσότερα αυτές τις μέρες) έχουμε:

α) Αγνοώντας προς στιγμήν τον περιορισμό "η αναπαράσταση φυσικού αριθμού δεν μπορεί να ξεκινάει με το μηδέν" έχουμε το παράδειγμα . Αμέσως έχουμε τα , όπου στην θέση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε ψηφίο (δέκα περιπτώσεις, όπως πχ, η ). Πιστεύω ότι αυτά είναι όλα τα τετραψήφια παραδείγματα (με την αβαρία να επιτρέψουμε το ως αρχικό ψηφίο) αλλά δεν έχω τον χρόνο για λεπτομερή απόδειξη. Συνεχίζουμε:

β) Τώρα αίρω τη αβαρία που επέτρεψα για αρχικό ψηφίο το . Όλα (;) τα παραδείγματα προκύπτουν από το προηγούμενο όπου οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι

, όπου στην θέση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε ψηφίο και στην θέση του μπορεί να είναι οποιοσδήποτε φυσικός. Για παράδειγμα οι

[αρψ2400]

Πρόβλημα 4.Οι ίπποι στα πορτοκαλί.

[αρψ2400]

Το πρόβλημα 6 με την επιφύλαξη ότι το ''Είναι άραγε απαραίτητο ότι όλες οι γωνίες των ισοσκελών τριγώνων θα διαιρούνται με 30^0;'' σημαίνει ''Είναι άραγε απαραίτητο ότι όλες οι γωνίες των ισοσκελών τριγώνων είναι πολλαπλάσια των 30^0;