ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα φαίνεται να προέρχεται από εκείνα τα βιβλία Γεωμετρίας που κυκλοφορούσαν στην Ελλάδα πριν 50 και πλέον χρόνια...
Πέρα από εντυπώσεις, θα μπορούσε να τεθεί σε πρωτοετείς φοιτητές , σας βεβαιώνω...

Να βρεθεί ο όγκος μονοβασικού σφαιρικού τμήματος σε σφαίρα ακτίνας

που έχει ύψος $\displaystyle\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R.$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 14, 2025 8:38 pm
Να βρεθεί ο όγκος μονοβασικού σφαιρικού τμήματος σε σφαίρα ακτίνας που έχει ύψος $\displaystyle\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R.$

.
Είναι $GH=GI-IH=R-\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R= \frac{\sqrt{3}}{2} R$ , οπότε από Πυθαγόρειο είναι $HA = \dfrac {R}{2}$ .

O όγκος του σφαιρικού τομέα GAIBG

είναι

$\dfrac {2}{3} \pi R^2 \cdot HI= \dfrac {2}{3} \pi R^2 \cdot \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R$ (βλέπε εδώ)

O όγκος του κώνου GABG

είναι

$\dfrac {1}{3}\pi HA^2 \cdot GH= \dfrac {1}{3}\pi \left ( \dfrac {R}{2}\right ) ^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} R= \dfrac{\sqrt{3}}{24}\pi R^3$

Άρα ο όγκος του ζητούμενου σφαιρικού τμήματος είναι η διαφορά των δύο προηγούμενων, εδώ

$\displaystyle{ \dfrac {2}{3} \pi R^2 \cdot \left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R - \dfrac{\sqrt{3}}{24}\pi R^3 = \left ( \dfrac {2}{3} - \dfrac {9\sqrt 3}{24} \ \right ) \pi R^3}$

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Πολύ ωραία...
Ας δοθεί και η απλή λύση με Ολοκληρωτικό Λογισμό.

nickolas tsik · #4

$\displaystyle h = \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) R.$
Η σφαίρα δίδεται
$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = R^2.$
η τομή ορίζεται από τις τιμές του

από

έως

. Σε κάθε επίπεδο

:
$\displaystyle A(z) = \pi \left( R^2 - z^2 \right).$
Άρα, ο όγκος

:
$\displaystyle V = \pi \int_{z=R-h}^{R} \left( R^2 - z^2 \right) dz.$

$\displaystyle \int \left( R^2 - z^2 \right) dz = R^2z - \frac{z^3}{3} + C.$
(ορια ολοκλήρωσης κλπ)...

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 14, 2025 8:38 pm
Το παρακάτω θέμα φαίνεται να προέρχεται από εκείνα τα βιβλία Γεωμετρίας που κυκλοφορούσαν στην Ελλάδα πριν 50 και πλέον χρόνια...
Πέρα από εντυπώσεις, θα μπορούσε να τεθεί σε πρωτοετείς φοιτητές , σας βεβαιώνω...

Να βρεθεί ο όγκος μονοβασικού σφαιρικού τμήματος σε σφαίρα ακτίνας που έχει ύψος $\displaystyle\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R.$

΄

Τηλέμαχε, Μιχάλη και Nicholas Tsik, καλημέρα...

Παραθέτω και τη δικιά μου άποψη πιστεύοντας στην ομορφιά των θεμάτων αυτών....

Αρχικά θα παραθέσω μερικά σχήματα για το στερεό αυτό.

Σχήμα 1ο

: Σφαιρικό τμήμα 1.png (15.92 KiB) Προβλήθηκε 1171 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται ένα αρχικό σχεδίασμα όπου διακρίνεται το πράσινο χωρίο

το οποία αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα της διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ κατά μία πλήρη γωνία τότε

θα δημιουργηθεί το ζητούμενο μονοβασικό σφαιρικό τμήμα. Τα στοιχεία του τμήματος

εύκολα από το τρίγωνο $\displaystyle{OHC}$ , βρίσκονται ότι είναι:

$\displaystyle{h=R(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) \ \ (1) }$

$\displaystyle{r=\frac{R}{2} \ \ (2) }$

Έχοντας τώρα γνωστό τον τύπο του όγκου του μονοβασικού τμήματος:

$\displaystyle{V(r,h)=\frac{1}{2}\pi r^2h+\frac{1}{6}\pi h^3 \ \ (3) }$

Υπολογίζουμε εύκολα το ζητούμενο όγκο, δηλαδή:

$\displaystyle{V(r,h)=\pi R^3(\frac{2}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{8}) \ \ (4) }$

2ο Σχήμα

: Σφαιρικό τμήμα 2.png (58.8 KiB) Προβλήθηκε 1171 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται ολοκληρη η επιφάνεια της σφαίρας και στο κατώτερο σημείο της

διακρίνεται το μονοβασικό αυτό τμήμα.

3ο Σχήμα

: Σφαιρικό τμήμα 3.png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 1171 φορές

Μια πιο καθαρή εικόνα του τμήματος αυτού.

Θα συνεχίσω το διάλογο για το θέμα αυτό και στο επόμενο

μήνυμα....

(Συχεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 14, 2025 8:38 pm
Το παρακάτω θέμα φαίνεται να προέρχεται από εκείνα τα βιβλία Γεωμετρίας που κυκλοφορούσαν στην Ελλάδα πριν 50 και πλέον χρόνια...
Πέρα από εντυπώσεις, θα μπορούσε να τεθεί σε πρωτοετείς φοιτητές , σας βεβαιώνω...

Να βρεθεί ο όγκος μονοβασικού σφαιρικού τμήματος σε σφαίρα ακτίνας που έχει ύψος $\displaystyle\left( 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R.$

(Συνέχεια...)

Καλησπέρα...

Συνεχίζω με μια άλλη χρήση της λύσης με ολοκλήρωμα.

Σχήμα 4ο

: Σφαιρικό τμήμα 5.png (32.34 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Στο σχήμα αυτό έχουμε:

$\displaystyle{N(0,0,z), \ \ z=0 ...z=h , \ h=R(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) \ \ (1) }$

και ακόμη:

$\displaystyle{M(x,0,z), \ \ x=\sqrt{z(2R-z)}=f(z) \ \ (2) }$

(ο τύπος αυτός προκύπτει από τη γνωστή σχέση του ύψους που αντιστοιχεί

στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία $\displaystyle{ΑΜΑ'}$

όπου $\displaystyle{A' }$ το αντιδιαμετρικό του σημείου $\displaystyle{A}$ .)

Έτσι ολοκληρώνοντας ως προς τη μεταβλητή $\displaystyle{z}$ και χρησιμοποιώντας το γνωστό

τύπο για όγκους στερεών εκ περιστροφής έχουμε:

$\displaystyle{V=\pi \int_0^h [f(z)]^2dz= \pi \int_0^hz(2R-z)dz \ \ (3) }$

Το ανωτέρω ολοκλήρωμα είναι απλό και εύκολα καταλήγουμε στο ζητούμενο τύπο

που υπολογίστηκε σε προηγούμενα μηνύματα.

Συμπληρώνοντας το θέμα αυτό σε ότι έχει σχέση με τη γραφική του αναπαράσταση(animation)

παραθέτω δυο συνδέσμους:

https://www.geogebra.org/m/fx6tqsxp

https://www.geogebra.org/m/mms8jefr

Κώστας Δόρτσιος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Κώστα, χωρίς τα σχήματά σου το θέμα που πρότεινα θα ήταν μια βαρετή υπολογιστική άσκηση.
Το ζωντάνεψες, το έκανες ελκυστικό...
Σε ευχαριστούμε, δεν είσαι δεδομένος...

ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Re: ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Re: ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Re: ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Re: ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Re: ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Re: ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΑΡΩΧΗΜΕΝΟ ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ...

Μέλη σε σύνδεση