Σταθερή η μία στις τρεις

KARKAR · #1

: Σταθερή η μία στις τρεις.png (8.03 KiB) Προβλήθηκε 2157 φορές

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι γνωστή η ( σταθερή ) πλευρά AB=c

. Θέτουμε : m=AC+CB

.

Υπολογίστε το ύψος AD=h

, προς την υποτείνουσα

, συναρτήσει των : m , c

. ( Και γραφική παράσταση ).

Αν : c=5

και :

, υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ( εύκολα μόρια κρίμα να χαθούν ! )

duamba · #2

Δεδομένου ότι $\triangle ADB \sim \triangle ACB$ , έχουμε:

$\displaystyle \frac{AC}{CB} = \frac{AD}{AB} \Leftrightarrow \frac{AC + CB}{CB} = \frac{AD + AB}{AB} = \boxed{\frac{m}{CB} = \frac{h + c}{c}}$

Αλλά
$\displaystyle c^2 = BC \cdot BD \Leftrightarrow BC = \frac{c^2}{BD} = \frac{c^2}{\sqrt{c^2-h^2}}$

Οπότε
$\displaystyle \frac{m\sqrt{c^2 - h^2}}{c^2} = \frac{h + c}{c} \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \frac{(c+h)(c-h)}{(c+h)^2} = \frac{c^2}{m^2} \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \boxed{h = \frac{c (m^2 - c^2)}{c^2 + m^2}}$

Για c = 5

και

:

$\displaystyle 4 = 5 \frac{m^2 - 25}{25 + m^2} \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow m^2 = 225 \Rightarrow m = 15$

Άρα, για c = 5

, η περίμετρος είναι: $\boxed{c + m = 20}$

Θέτουμε AC = x

,

, με

και

$\displaystyle (15 - y)^2 + 25 = y^2 \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow 30y = 250 \Rightarrow y = \frac{25}{3}, x = \frac{20}{3}$

Το εμβαδόν είναι:
$\displaystyle \frac{20 \times 5}{3} \times \frac{1}{2} = \boxed{\frac{50}{3}}$

Γραφική παράσταση για c = 5

: synartisi-ypsous.png (155.62 KiB) Προβλήθηκε 2125 φορές

Η γραφική παράσταση επαληθεύει την τριγωνική ανισότητα:
Τρίγωνο πλευράς 5 υπάρχει μόνο αν το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών είναι μεγαλύτερο απο 5.

edit για διόρθωση τυπογραφικού και πρόσθεση συμπεράσματος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 16, 2025 9:49 am
Σταθερή η μία στις τρεις.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι γνωστή η ( σταθερή ) πλευρά . Θέτουμε : .

Υπολογίστε το ύψος , προς την υποτείνουσα , συναρτήσει των : . ( Και γραφική παράσταση ).

Αν : και : , υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ( εύκολα μόρια κρίμα να χαθούν ! )

Απλούστερα: Με χρήση των c^2=a^2-b^2

και $a+b=m,\,(*)$ έχουμε

$a-b= \dfrac {(a-b)(a+b)}{m}= \dfrac {a^2-b^2}{m}= \dfrac {c^2}{m},\,(**)$ . Από προσθαφαίρεση των (*),(**)

έχουμε αμέσως

$\boxed {a= \dfrac {m^2+c^2}{2m} }$ και $\boxed {b= \dfrac {m^2-c^2}{2m} }$

Η άσκηση τώρα ουσιαστικά τέλειωσε. Π.χ, βρίσκουμε το

από το εμβαδόν ah=2E=bc

οπότε

$h= \dfrac {bc}{a} = \dfrac { \dfrac {(m^2-c^2)c}{2m} }{\dfrac {m^2+c^2}{2m}} = \dfrac {(m^2-c^2)c}{m^2+c^2}$ . Και λοιπά

.
.

duamba · #4

KARKAR · #5

: graph.png (42.63 KiB) Προβλήθηκε 2066 φορές

Δεν μπορούμε να αγνοήσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Σταθερή η μία στις τρεις

Σταθερή η μία στις τρεις

Re: Σταθερή η μία στις τρεις

Re: Σταθερή η μία στις τρεις

Re: Σταθερή η μία στις τρεις

Re: Σταθερή η μία στις τρεις

Μέλη σε σύνδεση