Lemoine σε τρίγωνο 45°

sakis1963 · #1

: 2025.02.06 Lemoine in 45 or 135 triangle mathematica.jpg (27.6 KiB) Προβλήθηκε 1835 φορές

Δείξτε ότι το σημείο Lemoine

, τριγώνου ABC

, με $\hat A=45^{\circ}$ ,

συμπίπτει με το κέντρο του τετραγώνου που εγγράφεται σε αυτό,

και αντίστροφα.

abgd · #2

: lemoine.png (45.73 KiB) Προβλήθηκε 1747 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και

το εμβαδόν του τριγώνου ABC

.

Είναι $2E=2(AKM)+2(KBCM)=t(\upsilon_a-t)+t(a+t)\Rightarrow \boxed{t=\dfrac{2aE}{a^2+2E}}$

Το σημείο

είναι

αν και μόνο αν $\boxed{\dfrac{LQ}{a}=\dfrac{LT}{b}=\dfrac{LS}{c}}$

Αν το κέντρο του τετραγώνου είναι το σημείο του τότε θα είναι:

$LQ=\dfrac{t}{2}=\dfrac{Ea}{a^2+2E}$ , $LT\dfrac{Ec}{a^2+2E}$ , $LS=\dfrac{Eb}{a^2+2E}$

Όμως ισχύει

$LQ\cdot a+LT \cdot c+ LS \cdot b=2E}$

Άρα

$a^2+b^2+c^2=2a^2+4E \Rightarrow b^2+c^2-a^2=4E \Rightarrow 2bc\cdot cosA=2bc \cdot sinA \Rightarrow A=45^o$

Αντίστροφα,

Αν η γωνία είναι θα δείξουμε ότι το κέντρο του τετραγώνου είναι το σημείο του

Ισχύει $\phi=C, \omega =B$ οπότε τα τρίγωνα LTK, ADC

είναι όμοια, όπως και τα LSM, ADB

.

Άρα $\dfrac{LT}{AD}=\dfrac{LK}{AC}$ και $\dfrac{LS}{AD}=\dfrac{LM}{AB}$

Επίσης ισχύει: $LQ=\dfrac{t}{2}$

Εύκολα τώρα από τις τελευταίες ισότητες έχουμε: $\dfrac{LQ}{a}=\dfrac{LT}{b}=\dfrac{LS}{c}$ , δηλαδή το ζητούμενο.

#3

Με την βοήθεια ομοιοθεσίας κέντρου

έχουμε ττο ομοιόθετο τετράγωνο BCHS

καθώς και το τρίγωνο AFP

.
Αν

είναι τετράγωνο, τότε το σημείο

είναι το περίκεντρο του ABC

ενώ οι

είναι εφαπτόμενες στον περίκυκλο του ABC

. Επομένως η

είναι συμμετροδιάμεσος. Αρκεί τώρα να αποδείξουμε ότι ο λόγος των αποστάσεων του σημείου

από τις

ισούται με τον λόγο των πλευρών αυτών. Ισοδύναμα, αρκεί ο λόγος των αποστάσεων του ομοιόθετου σημείου

από τις

να ισούται με τον λόγο των αντίστοιχων πλευρών. Καθώς όμως το τρίγωνο RKM

είναι όμοιο με το ABC

(δύο πλευρές κάθετες και γωνία

ίση με

λόγω του εγγραψίμου KMBR

) και

προκύπτει η επιθυμητή αναλογία.

Lemoine σε τρίγωνο 45°

Lemoine σε τρίγωνο 45°

Re: Lemoine σε τρίγωνο 45°

Re: Lemoine σε τρίγωνο 45°

Μέλη σε σύνδεση