Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

KARKAR · #1

: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.png (4.64 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Μπορούμε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, αν γνωρίζουμε το ύψος AH=h

προς την υποτείνουσα

και την διχοτόμο AD=d

; Αν πείτε ναι , υπολογίστε την

.

Αν κάνατε τα παραπάνω , επιβεβαιώστε τα αποτελέσματά σας , για : h=6

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 11:23 am
Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.pngΜπορούμε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο , αν γνωρίζουμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ; Αν πείτε ναι , υπολογίστε την .

Αν κάνατε τα παραπάνω , επιβεβαιώστε τα αποτελέσματά σας , για : και : .

H κατασκευή: Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο AHD

από τις δύο δοθείσες πλευρές του. Επίσης, οι AB, AC

σχηματίζουν γωνίες 45^o

με την

, άρα σχεδιάζονται οι ημιευθείες AB, AC

. Εκεί που τέμνουν την

είναι οι ζητούμενες κορυφές B,C

.

Επίσης, είναι $\tan \theta= \dfrac {HD}{AH}= \dfrac {\sqrt {d^2-h^2}}{h}$ . Άρα

$\displaystyle{ BC = BH+HC = h \tan (45 -\theta) + h \tan (45 +\theta) = }$

$\displaystyle{= h \left ( \dfrac {1-\tan \theta }{1+\tan \theta} + \dfrac {1+\tan \theta }{1-\tan \theta} \right ) = 2h \dfrac {1+\tan^2 \theta }{1-\tan ^2 \theta} = 2h \dfrac {1+ \dfrac {d^2-h^2}{h^2 }}{1- \dfrac {d^2-h^2}{h^2 }}=}$

$\displaystyle{= \dfrac {2hd^2}{2h^2-d^2}}$

Στο αριθμητικό παράδειγμα είναι $BC= \dfrac {588}{23}$
.

#3

Από τη στιγμή που κατασκευάζεται το τρίγωνο AHD,

η κατασκευή είναι εφικτή. Για τους υπολογισμούς:

$\displaystyle bc = ah$ και $\displaystyle {(b + c)^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc = {a^2} + 2ah$

$\displaystyle {d^2} = bc - BD \cdot DC = ah - \frac{{{a^2}bc}}{{{{(b + c)}^2}}} = ah - \frac{{{a^2}h}}{{a + 2h}} = \frac{{2a{h^2}}}{{a + 2h}} \Leftrightarrow$ $\boxed{a = \frac{{2h{d^2}}}{{2{h^2} - {d^2}}}}$

Στο παράδειγμα, $\boxed{a=\frac{588}{23}}$

KARKAR · #4

: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.png (8.6 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Νέο ερώτημα : Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο ( όχι πια κατ' ανάγκην ορθογώνιο ) ABC

, αν μας δοθεί

και η διάμεσος AM=m

. Αν η κατασκευή φαίνεται δύσκολη , υπολογίστε την ακτίνα

του περικύκλου

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 1:36 pm
Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.pngΝέο ερώτημα : Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο ( όχι πια κατ' ανάγκην ορθογώνιο ) , αν μας δοθεί

και η διάμεσος . Αν η κατασκευή φαίνεται δύσκολη , υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 11:23 am
Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.pngΜπορούμε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο , αν γνωρίζουμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ; Αν πείτε ναι , υπολογίστε την .

Αν κάνατε τα παραπάνω , επιβεβαιώστε τα αποτελέσματά σας , για : και : .

Το ορθογώνιο ( στο

) τρίγωνο HDA

κατασκευάζεται . Έξω απ’ αυτό θεωρώ ευθεία που σχηματίζει με την

γωνία $45^\circ$ .

Η ευθεία αυτή τέμνει την ευθεία

στο

.

Ας είναι HD = k

, Η υποτείνουσα BC = 2AM = 2x

. Το

είναι ο νότιος πόλος . $\vartriangle AHD \approx \vartriangle SMD$ , απ’ όπου: $\boxed{DM = \frac{{kx}}{h}\,\,\,\left( 1 \right).}$

: Απο δευτερεύοντα.png (35.35 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Επίσης ( Π. Θ. στο $\vartriangle AHD$ ) , ${k^2} = {d^2} - {h^2}\,\,\left( 2 \right)$ . Πάλι με Π. Θ. στο $\vartriangle AHM$ έχω : $A{M^2} = A{H^2} + {\left( {HD + DM} \right)^2}$ . Λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ ,

$\boxed{{x^2} = {h^2} + {{\left( {{k^2} + {k^2}\frac{x}{h}} \right)}^2}}$ που δίδει : $\left( {x + h} \right)\left( {x\left( {{d^2} - 2{h^2}} \right) + h{d^2}} \right) = 0$ . Άρα , $\boxed{a = 2x = \frac{{2h{d^2}}}{{2{h^2} - {d^2}}}}$ .

Για $h = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 7$ είναι , $\boxed{a = \frac{{588}}{{23}}}$

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 12:43 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 11:23 am
Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.pngΜπορούμε να κατασκευάσουμε ορθογώνιο τρίγωνο , αν γνωρίζουμε το ύψος

προς την υποτείνουσα και την διχοτόμο ; Αν πείτε ναι , υπολογίστε την .

Αν κάνατε τα παραπάνω , επιβεβαιώστε τα αποτελέσματά σας , για : και : .
H κατασκευή: Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο από τις δύο δοθείσες πλευρές του. Επίσης, οι σχηματίζουν γωνίες με την , άρα σχεδιάζονται οι ημιευθείες . Εκεί που τέμνουν την είναι οι ζητούμενες κορυφές .

Επίσης, είναι $\tan \theta= \dfrac {HD}{AH}= \dfrac {\sqrt {d^2-h^2}}{h}$ . Άρα

$\displaystyle{ BC = BH+HC = h \tan (45 -\theta) + h \tan (45 +\theta) = }$

$\displaystyle{= h \left ( \dfrac {1-\tan \theta }{1+\tan \theta} + \dfrac {1+\tan \theta }{1-\tan \theta} \right ) = 2h \dfrac {1+\tan^2 \theta }{1-\tan ^2 \theta} = 2h \dfrac {1+ \dfrac {d^2-h^2}{h^2 }}{1- \dfrac {d^2-h^2}{h^2 }}=}$

$\displaystyle{= \dfrac {2hd^2}{2h^2-d^2}}$

Στο αριθμητικό παράδειγμα είναι $BC= \dfrac {588}{23}$
.

Μου άρεσε Κ. Λάμπρου η λύση σας .Δείχνει πως με στοιχειώδεις σχέσεις τριγωνομετρίας μπορούν να απαντηθούν εύκολα υπολογιστικές ασκήσεις .

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 1:36 pm
Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία.pngΝέο ερώτημα : Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο ( όχι πια κατ' ανάγκην ορθογώνιο ) , αν μας δοθεί

και η διάμεσος . Αν η κατασκευή φαίνεται δύσκολη , υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου

: Κατασκευή από δευτερεύοντα.png (20.34 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

Κατασκευάζω το ορθογώνιο τρίγωνο HAM

και εντοπίζω το

ανάμεσα στα H,M.

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την προέκταση της

στο

και τη μεσοκάθετο του

στο

Ο κύκλος

τέμνει την ευθεία

στα

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Έχουμε μοναδική λύση μόνο αν h<d<m

και άπειρες λύσεις αν h=d=m.

KARKAR · #9

Γιώργο , ο υπολογισμός της

είναι αυτοσκοπός , όχι σκαλοπάτι για την κατασκευή .

Ούτως ή άλλως , ένα

το κερδίζεις !

#10

Δεν είχα καταλάβει το ερώτημα Θανάση. Ας πάμε λοιπόν να υπολογίσουμε και την ακτίνα.

Από τα όμοια τρίγωνα AHD, ASN

και

έχω διαδοχικά:

: Ακτίνα περίκυκλου.Κ.png (21.65 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{h}{d} = \frac{{AS}}{{2R}} \Leftrightarrow R = \frac{d}{2h} \cdot AS$ (1)

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{d}{{SD}} = \frac{{HD}}{{DM}} \Leftrightarrow \frac{d}{{AS}} = \frac{{HD}}{{HM}} \Leftrightarrow AS = d\frac{{\sqrt {{m^2} - {h^2}} }}{{\sqrt {{d^2} - {h^2}} }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{R = \frac{{{d^2}\sqrt {{m^2} - {h^2}} }}{{2h\sqrt {{d^2} - {h^2}} }}}$

Πάντως και με τη βοήθεια της ακτίνας μπορεί να κατασκευαστεί το τρίγωνο.

Γράφουμε τον κύκλο (O, R)

και με κορυφή ένα τυχόν σημείο του

κατασκευάζουμε

το ορθογώνιο τρίγωνο HAM

με

εσωτερικά του κύκλου, κλπ.

#11

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 9:24 am
Δεν είχα καταλάβει το ερώτημα Θανάση. Ας πάμε λοιπόν να υπολογίσουμε και την ακτίνα.

Από τα όμοια τρίγωνα και έχω διαδοχικά:

Ακτίνα περίκυκλου.Κ.png
$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{h}{d} = \frac{{AS}}{{2R}} \Leftrightarrow R = \frac{d}{2h} \cdot AS$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{d}{{SD}} = \frac{{HD}}{{DM}} \Leftrightarrow \frac{d}{{AS}} = \frac{{HD}}{{HM}} \Leftrightarrow AS = d\frac{{\sqrt {{m^2} - {h^2}} }}{{\sqrt {{d^2} - {h^2}} }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{R = \frac{{{d^2}\sqrt {{m^2} - {h^2}} }}{{2h\sqrt {{d^2} - {h^2}} }}}$

Πάντως και με τη βοήθεια της ακτίνας μπορεί να κατασκευαστεί το τρίγωνο.

Γράφουμε τον κύκλο και με κορυφή ένα τυχόν σημείο του κατασκευάζουμε

το ορθογώνιο τρίγωνο με εσωτερικά του κύκλου, κλπ.

Πολύ ωραία Γιώργο και η κατασκευή σου και μετέπειτα ο πιο πάνω υπολογισμός .

Υπάρχει ένα επώνυμο πρόβλημα για σχετικές κατασκευές :

Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\vartriangle ABC$ : Από τη γωνία $\widehat {BAC} = \theta$ , τη πλευρά $BC = a\,$ και από τη διχοτόμο .

#12

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 1:46 pm

Πολύ ωραία Γιώργο και η κατασκευή σου και μετέπειτα ο πιο πάνω υπολογισμός .

Σ' ευχαριστώ πολύ Νίκο, να' σαι καλά.

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2025 1:46 pm

Υπάρχει ένα επώνυμο πρόβλημα για σχετικές κατασκευές :

Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\vartriangle ABC$ : Από τη γωνία $\widehat {BAC} = \theta$ , τη πλευρά $BC = a\,$ και από τη διχοτόμο .

Όλοι γνωρίζουμε το Πρόβλημα του Πάππου. Εδώ, θα επιχειρήσω μία λύση διαφορετική από την κλασσική.

(Ίσως και να υπάρχει κάπου. Εγώ πάντως δεν την έχω δει).

Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε. Αφού η

είναι σταθερή, όπως και η γωνία $\widehat A,$ ο περιγεγραμμένος

κύκλος του τριγώνου θα είναι σταθερός. Αν η

τέμνει τον κύκλο στο

τότε τα τμήματα SB, SC

είναι ορισμένα

και έστω SB=SC=k.

Ως γνωστόν ο κύκλος (S, k)

τέμνει την

στο έγκεντρο

Θεωρώ

την προβολή του

στην

και από τα όμοια τρίγωνα AEI, BMS

έχω:

: Πρόβλημα του Πάππου.png (19.42 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

$\displaystyle \frac{{2AE}}{a} = \frac{{AI}}{k} \Leftrightarrow \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{AI}}{k} \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{a} = \frac{{AI + k}}{k} \Leftrightarrow \frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AI + k}}{k},.$ απ' όπου

$\displaystyle \frac{{AI}}{d} = \frac{{AI + k}}{{AI + 2k}} \Leftrightarrow A{I^2} + (2k - d)AI - dk = 0 \Leftrightarrow AI = \frac{{d - 2k + \sqrt {{d^2} + 4{k^2}} }}{2}$

Άρα, $\displaystyle SA = SI + IA = k + IA = \frac{{d + \sqrt {{d^2} + 4{k^2}} }}{2}$ που είναι γνωστό μήκος.

Κατασκευή: Κατασκευάζω το τόξο χορδής

που δέχεται γωνία $\theta$ και συμπληρώνω τον κύκλο. Έστω

ο νότιος πόλος. Η τρίτη κορυφή

του ζητούμενου τριγώνου είναι το σημείο τομής αυτού του κύκλου με τον

κύκλο $\displaystyle \left( {S,\frac{{d + \sqrt {{d^2} + 4{k^2}} }}{2}} \right).$ Το πρόβλημα έχει εν γένει δύο λύσεις

δύο διαφορετικές θέσεις της

κορυφής A).

Τα τρίγωνα που προκύπτουν είναι όμως ίσα.

Διερεύνηση: Αποδεικνύεται ότι για να έχουμε λύση πρέπει $\boxed{d\le \frac{a}{2} \cot \frac{\theta}{2}}$

αν μου ζητηθεί, θα δώσω την απόδειξη

Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Re: Κατασκευή από δευτερεύοντα στοιχεία

Μέλη σε σύνδεση