Κλασματικοί εκθέτες

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $(1+x)^\frac{2}{3}-(1-x)^\frac{2}{3}=(1-x^2)^\frac{1}{3}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 28, 2025 7:50 am
Να λυθεί η εξίσωση : $(1+x)^\frac{2}{3}-(1-x)^\frac{2}{3}=(1-x^2)^\frac{1}{3}$

Θέτουμε $(1+x)^\frac{1}{3}=a, \, (1-x)^\frac{1}{3}=b$ . Σημειώνω ότι ανάλογα πώς ορίζονται οι κυβικές ρίζες (αλλάζει ανάλογα με την εποχή!) οι υπόριζες ποσότητες πρέπει ή δεν πρέπει να είναι θετικές).

H εξίσωση γράφεται a^2-b^2=ab

, ισοδύναμα a^2-ab-b^2=0

. Ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει ρίζες $a=\dfrac {(1\pm \sqrt 5)b}{2}$ .

Έπεται ότι $1+x= \dfrac {(1\pm \sqrt 5)(1-x)}{2}$ . Τις λύνουμε ως πρωτοβάθμιες. Θα βρούμε

$x= -\dfrac {1+ \sqrt 5}{2}$ ή $x= \dfrac {-1+ \sqrt 5}{2}$ .

Κάποιοι θα απέρριπταν την πρώτη λόγω πεδίου ορισμού. Αλλιώς τις κρατάμε (προτιμόμενο) οπότε οι ρίζες, σε πιο προσφιλή μορφή, είναι οι $-\phi$ και $\phi -1$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 28, 2025 7:50 am
Να λυθεί η εξίσωση : $(1+x)^\frac{2}{3}-(1-x)^\frac{2}{3}=(1-x^2)^\frac{1}{3}$

Θέτω : ${(1 + x)^{\dfrac{1}{3}}} = a > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{\left( {1 - x} \right)^{\dfrac{1}{3}}} = b > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,1 - {x^2} > 0$ . Άρα |x| < 1

και $x \ne 0$

Η εξίσωση γράφεται : ${a^2} - {b^2} - ab = 0$ . Εδώ πάλι θέτω a = bt

κι έχω : $b({t^2} - t - 1) = 0$ .

Αν b = 0

έχω

άτοπο . Αν ${t^2} - t - 1 = 0$ προκύπτει : $t = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$ οπότε έχω $\boxed{\dfrac{a}{b} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ .

Η πιο πάνω δίδει : $\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} = {\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^3} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}$

Κλασματικοί εκθέτες

Κλασματικοί εκθέτες

Re: Κλασματικοί εκθέτες

Re: Κλασματικοί εκθέτες

Μέλη σε σύνδεση