Τα μυστήρια της διχοτόμου

KARKAR · #1

: Τα μυστήρια της διχοτόμου.png (16.54 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Σημείο

, κινείται στην διχοτόμο

τριγώνου

, από το

προς το

α) Δείξτε ότι : SC > SB

β) Μελετήστε την διαφορά : d=SC-SB

γ) Μελετήστε τον λόγο : $m=\dfrac{SC}{SB}$ .

Υπόδειξη : Εργαστείτε σε τρίγωνο με : AB=6 , AC=9 , BC=10

. Ίσως η χρήση συντεταγμένων με :

B(0,0)

και :

βοηθά . Εικασία : Το μέγιστο του

επιτυγχάνεται όταν η τετμημένη του

, γίνει $\dfrac{7}{2}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2025 10:20 am
Τα μυστήρια της διχοτόμου.pngΣημείο , κινείται στην διχοτόμο τριγώνου , από το προς το

α) Δείξτε ότι :

β) Μελετήστε την διαφορά :

γ) Μελετήστε τον λόγο : $m=\dfrac{SC}{SB}$ .

Υπόδειξη : Εργαστείτε σε τρίγωνο με : . Ίσως η χρήση συντεταγμένων με :

και : βοηθά . Εικασία : Το μέγιστο του επιτυγχάνεται όταν η τετμημένη του , γίνει $\dfrac{7}{2}$ .

α) απλό και γνωστό.

β) Η διαφορά d=SC-SB

συνεχώς αυξάνει με μικρότερη τιμή DC-DB

και μεγαλύτερη b-c.

Στο τρίγωνο

που προτείνει ο θεματοδότης είναι $\boxed{d_{min}=2}$ όταν το

πάρει τη θέση του

και $\boxed{d_{max}=3}$ όταν το

πάρει τη

θέση του

: Τα μυστήρια της διχοτόμου.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

γ) Με τον τύπο του Ήρωνα βρίσκω το εμβαδόν και στη συνέχεια το ύψος από την κορυφή

Έτσι προκύπτει,

$\displaystyle A\left( {\frac{{11}}{4},\frac{{\sqrt {455} }}{4}} \right),$ οπότε $\displaystyle AD:y = - \frac{{\sqrt {455} }}{4}(x - 4).$ Έστω τώρα $\displaystyle S\left( {x, - \frac{{\sqrt {455} }}{4}(x - 4)} \right).$

$\displaystyle f(x) = \frac{{SC}}{{SB}} = \sqrt {\frac{{25{{(x - 10)}^2} + 455{{(x - 4)}^2}}}{{25{x^2} + 455{{(x - 4)}^2}}}} ,\frac{{11}}{4} \leqslant x \leqslant 4$

Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {\frac{{11}}{4},\frac{7}{2}} \right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left[ {\frac{7}{2},4} \right]$ . Για $\boxed{x=\frac{7}{2}}$ παίρνει μέγιστη τιμή

$\boxed{{f_{\max }} = \sqrt {\frac{{39}}{{14}}}}$ H

παρουσιάζει ακόμα στα σημεία x_1=4

και $x_2=\dfrac{11}{4}$ ολικό ελάχιστο ίσο με $\boxed{f_{min}=\frac{3}{2}}$

Τη στιγμή της μεγιστοποίησης το είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

KARKAR · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2025 10:41 am
Τη στιγμή της μεγιστοποίησης το είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

: Εικασία για την διχοτόμο.png (9.33 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Γιώργο , αυτό είναι ένα θαυμάσιο αποτέλεσμα

. Μένει να δειχθεί ότι ισχύει σε κάθε τρίγωνο . Δηλαδή :

Το σημείο της διχοτόμου για το οποίο μεγιστοποιείται ο λόγος $\dfrac{SC}{SB}$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2025 1:08 pm

Το σημείο της διχοτόμου για το οποίο μεγιστοποιείται ο λόγος $\dfrac{SC}{SB}$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου .

Θανάση, είμαι σίγουρος ότι ισχύει, χωρίς όμως να το έχω αποδείξει. Θα το προσπαθήσω πάντως.

#5

Ναι, ισχύει γενικά αυτό το θαυμάσιο αποτέλεσμα. Βγαίνει από τον Νόμο των Συνημιτόνων και παραγώγιση ως προς το d=AS

. Εδώ

$\dfrac {SC^2}{SB^2}= \dfrac {b^ 2 + d^2 -2bd \cos \frac {A}{2} }{c^ 2 + d^2 -2cd \cos \frac {A}{2}}$

την οποία παραγωγίζουμε ως προς

(οι υπόλοιπες ποσότητες είναι σταθερές) και μετά θέτουμε

. Στο τέλος θα χριαστεί να λύσουμε μία δευτεροβάθμια, την $d^2 \cos \frac {A}{2} -(b+c) d +bc\cos \frac {A}{2}=0$ .

Θα επανέλθω, αν χρειαστεί, για έλεγχο των πράξεων και άλλες λεπτομέρειες. Τώρα πρέπει να κλείσω βιαστικά.

Edit. Διόρθωσα τυπογραφικό. To $\sin \frac {A}{2}$ έγινε $\cos \frac {A}{2}$

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2025 2:06 pm
Ναι, ισχύει γενικά αυτό το θαυμάσιο αποτέλεσμα. Βγαίνει από τον Νόμο των Συνημιτόνων και παραγώγιση ως προς το . Εδώ

$\dfrac {SC^2}{SB^2}= \dfrac {b^ 2 + d^2 -2bd \cos \frac {A}{2} }{c^ 2 + d^2 -2cd \cos \frac {A}{2}}$

την οποία παραγωγίζουμε ως προς (οι υπόλοιπες ποσότητες είναι σταθερές) και μετά θέτουμε . Στο τέλος θα χριαστεί να λύσουμε μία δευτεροβάθμια, την $d^2 \cos \frac {A}{2} -(b+c) d +bc\cos \frac {A}{2}=0$ .

.
Επανέρχομαι για συμπλήρωση και διεκπεραίωση. Προσοχή, διόρθωσα ένα τυπογραφικό σφάλμα στο προηγούμενο ποστ μου.

Ας δούμε πρώτα την παράγωγο ως προς

του κλάσματος. Βγαίνει

$\displaystyle{ \dfrac {2(b-c)\left (d^2 \cos \frac {A}{2} -(b+c) d +bc\cos \frac {A}{2}\right )}{\left (c^ 2 + d^2 -2cd \cos \frac {A}{2}\right )^2}}$

Οπότε θέλουμε $d^2 \cos \frac {A}{2} -(b+c) d +bc\cos \frac {A}{2}=0$

Έχει διακρίνουσα την εξής ωραία ποσότητα

$\displaystyle{b^2+c^2-2bc\left ( 2 \cos ^2 \frac {A}{2}-1 \right ) = b^2+c^2-2bc \cos A =a^2}$ οπότε βρίσκουμε (παίρνω μόνο το πλην)

$\displaystyle{d= \dfrac {b+c-a}{2\cos \frac {A}{2}} = \dfrac {\tau -a}{\cos \frac {A}{2}}= AI}$ όπου

το έγκεντρο.

Αυτό ολοκληρώνει το απρόσμενο αποτέλεσμα.

KARKAR · #7

Αυτά είναι τα ωραία

Γιώργο είχες λύσει με κάπως διαφορετικό τρόπο παρόμοιο πρόβλημα εκεί

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2025 7:21 pm

Γιώργο είχες λύσει με κάπως διαφορετικό τρόπο παρόμοιο πρόβλημα εκεί

Δεν το θυμόμουν καθόλου. Πρέπει να έχεις τρομερή μνήμη Θανάση ή απίστευτη οργάνωση

αρχείου, ώστε να βρίσκεις με τέτοια ευκολία παρόμοιες ασκήσεις του παρελθόντος

Τα μυστήρια της διχοτόμου

Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Re: Τα μυστήρια της διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση