Ονοματοδοσία

KARKAR · #1

$\bigstar$ Για τους πραγματικούς αριθμούς a , b

, ισχύει : 0<a<b

. Υπάρχει άραγε κάποιος αριθμός

$c \in (a,b)$ , τέτοιος ώστε : $\dfrac{(c+a)^2}{c^2+a^2}=\dfrac{(c+b)^2}{c^2+b^2}$ ; Δώστε ένα όνομα σ' αυτόν τον αριθμό .

duamba · #2

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί, μεταφέροντας όλους τους όρους αριστερά και αναπτύσσοντας παίρνω:
$\displaystyle ac^3 - bc^3+ab^2c-a^2bc = 0$

λύνω ως προς c:
$\displaystyle (a-b)c^3+(ab^2-a^2b)c = 0 \iff$

$\displaystyle c[(a-b)c^2+(ab^2-a^2b)] = 0$

Η περίπτωση c = 0 απορρίπτεται απο την προϋπόθεση.

$\displaystyle \pm \frac{\sqrt{-4(a-b)(ab^2-a^2b)}}{2(a-b)} = \ldots = \pm \frac{\sqrt{4ab(a-b)^2}}{2(a-b)} = \pm \frac{2(a-b)\sqrt{ab}}{2(a-b)} = \pm \sqrt{ab}$

Η αρνητική λύση απορρίπτεται απο την προϋπόθεση και μένω με τον γεωμετρικό μέσο των a, b.

με μικρό edit για καθάρισμα αχρείαστων συντελεστών

#3

Αν θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τις πράξεις, η ισότητα γράφεται:

$\displaystyle 1 + \frac{{2ac}}{{{a^2} + {c^2}}} = 1 + \frac{{2bc}}{{{c^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow \frac{a}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{b}{{{c^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow (a - b)({c^2} - ab) = 0,$ κλπ.

Ονοματοδοσία

Ονοματοδοσία

Re: Ονοματοδοσία

Re: Ονοματοδοσία

Μέλη σε σύνδεση