Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές

KARKAR · #1

: Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

Άσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα ..." . Παλιά ρωτάγαμε : Έχετε αρκετό χαρτί ; Τώρα :

Είστε διατεθειμένοι να ταλαιπωρήσετε το λογισμικό σας ; Λοιπόν , σχεδιάστε ορθογώνιο ABCD

,

στο οποίο η διαδρομή A-S-T

, να είναι ίση με την N-P-Q

, (

συνευθειακά ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 15, 2025 6:45 pm
Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές.pngΆσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα ..." . Παλιά ρωτάγαμε : Έχετε αρκετό χαρτί ; Τώρα :

Είστε διατεθειμένοι να ταλαιπωρήσετε το λογισμικό σας ; Λοιπόν , σχεδιάστε ορθογώνιο ,

στο οποίο η διαδρομή , να είναι ίση με την , ( συνευθειακά ) .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 15, 2025 6:45 pm
Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές.pngΆσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα ..." . Παλιά ρωτάγαμε : Έχετε αρκετό χαρτί ; Τώρα :

Είστε διατεθειμένοι να ταλαιπωρήσετε το λογισμικό σας ; Λοιπόν , σχεδιάστε ορθογώνιο ,

στο οποίο η διαδρομή , να είναι ίση με την , ( συνευθειακά ) .

Θέτω

Εύκολα βρίσκω $\displaystyle DS = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},BS = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$\displaystyle A{S^2} = DS \cdot BS \Leftrightarrow AS = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ ΚΑΙ $\displaystyle \frac{{ST}}{b} = \frac{{DS}}{{DB}} \Leftrightarrow ST = \frac{{{b^3}}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Επομένως, $\boxed{AS + ST = \frac{{{b^3} + ab\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{{a^2} + {b^2}}}}$ (1)

: Δύσκολες διαδρομές.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

$\displaystyle \frac{x}{a} = \frac{{DS}}{{DB}} \Leftrightarrow x = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{BP}}{{BS}} = \frac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow BP = \frac{{{a^4}}}{{\sqrt {{{({a^2} + {b^2})}^3}} }}$

$\displaystyle \frac{{NP}}{{AS}} = \frac{{BP}}{{BS}},\frac{{PQ}}{a} = \frac{{BP}}{{BD}} \Rightarrow$ $\boxed{NP + PQ = \frac{{{a^3}\left( {{a^2} + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)}}{{{{({a^2} + {b^2})}^2}}}}$ (2)

Από

μετά τις πράξεις και αντικαθιστώντας $\dfrac{a}{b}=t>1,$ καταλήγω στην εξίσωση:

$\boxed{t^{10}-2t^7-2t^5+t^2+1=0}$ που δίνει $\boxed{\frac{a}{b} = t \simeq 1,3992922}$

Προφανώς το ορθογώνιο δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. Μπορεί όμως

να σχεδιαστεί (όπως ζητάει η εκφώνηση) με πολύ μεγάλη ακρίβεια.

KARKAR · #4

: δύσκολες , λύση.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Με :

και αξιοποιώντας τις ίσες γωνίες και τα ίσα τμήματα , αναζητώ την : $AB=a=\cot\theta$ .

Αλλά η $\theta$ θα προκύψει από την λύση της εξίσωσης : $\cos\theta+\sin^2\theta=\cos^3\theta+\dfrac{cos^5\theta}{\sin\theta}$ . Αυτή έχει

πράγματι ( προσεγγιστικά και με βοήθεια λογισμικού ) ως λύση την : $a\simeq 1,3992922$ .

Για να γράψω αυτή την τριών γραμμών "λύση" , χρειάστηκα όντως πολύ χαρτί , πολύ χρόνο και πολύ υπομονή

Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές

Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές

Re: Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές

Re: Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές

Re: Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές

Μέλη σε σύνδεση