Διπλοάρρητη 2

KARKAR · #1

Να λυθεί ( προσεκτικά ) η εξίσωση : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^x =\dfrac{17}{6}$

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 25, 2024 11:00 am
Να λυθεί ( προσεκτικά ) η εξίσωση : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^x =\dfrac{17}{6}$

Θανάση δύσκολη... δίδω μία ιδέα και ας τη συνεχίσει κάποιος.

Έστω $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ και $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}$ , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left( \alpha + \beta \right)^x + \left( \alpha - \beta \right)^x = \frac{17}{6} & \Leftrightarrow \left( \alpha + \beta \right)^x + \left( \alpha - \beta \right)^x = 2 \left( \alpha^2+ \beta^2 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( \alpha + \beta \right)^x + \left( \alpha - \beta \right)^x = \left( \alpha + \beta \right)^2 + \left( \alpha - \beta \right)^2 \end{aligned}}$
Από εδώ πρέπει να προκύψει ότι x=2

. Πώς όμως;

KARKAR · #3

Ας λυθεί πρώτα η απλούστερη : $\left(\sqrt{20}+\sqrt{19} \right)^x+\left(\sqrt{20}-\sqrt{19} \right)^x=78$

Tolaso J Kos · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 26, 2024 1:35 pm
Ας λυθεί πρώτα η απλούστερη : $\left(\sqrt{20}+\sqrt{19} \right)^x+\left(\sqrt{20}-\sqrt{19} \right)^x=78$

Θανάση αυτή εδώ είναι εύκολη. Επειδή οι βάσεις είναι αντίστροφες, αν θέσουμε $\alpha = \sqrt{20} + \sqrt{19}$ , έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \alpha^x + \frac{1}{\alpha^x} = 78 & \Leftrightarrow \alpha^{2x} - 78 \alpha^x + 1 =0 \\ &\!\!\!\!\overset{y = \alpha^x >0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } y^2 - 78 y + 1 =0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y & = & 39 + 4 \sqrt{95} \\ y & = & 39 - 4 \sqrt{95} \\ \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
οπότε ισοδύναμα:

$\displaystyle{\left ( \sqrt{20} + \sqrt{19} \right )^x = 39 + 4 \sqrt{95} \Leftrightarrow x = 2 \quad \text{\gr και} \quad \left ( \sqrt{20} + \sqrt{19} \right )^x = 39 - 4 \sqrt{95} \Leftrightarrow x = -2}$

Η πάνω αν πάμε να εφαρμόσουμε την ίδια τεχνική μας βγαίνει ένα .

mick7 · #5

Εχει 2 λύσεις εφόσον το χ δεν δίνεται ακέραιος.

KARKAR · #6

Λοιπόν αντί της προηγούμενης σκέφτηκα να θέσω την : $\left(\sqrt{27}+\sqrt{24} \right)^x+\left(\sqrt{27}-\sqrt{24} \right)^x=102$ ,

η οποία γράφεται και ως : $\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{6} \right)^x + \left(3\sqrt{3}-2\sqrt{6} \right)^x=102$ .

Θεωρώντας ότι αυτή λύνεται , όπως στο παράδειγμα , έφθασα στην "εφφετζίδικη" που τελικά ανέβασα .

Δυστυχώς : $\left(\sqrt{27}+\sqrt{24} \right)\cdot\left(\sqrt{27}-\sqrt{24} \right)=3$ , οπότε βγάζει ένα 3^x

, όπως και στην

αναρτηθείσα η οποία όπως γράφει ο Απόστολος βγάζει το $\dfrac{1}{12^x}$ . Συνεπώς με τα αναφερθέντα
δεν υπάρχει λύση . Ίσως με κάποια "ανώτερη" μέθοδο , που ίσως κάποιος ανακαλύψει

Διπλοάρρητη 2

Διπλοάρρητη 2

Re: Διπλοάρρητη 2

Re: Διπλοάρρητη 2

Re: Διπλοάρρητη 2

Re: Διπλοάρρητη 2

Re: Διπλοάρρητη 2

Μέλη σε σύνδεση