Εγκεντρικός τόπος

KARKAR · #1

: Εγκεντρικός τόπος.png (10.49 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος έχει περίμετρο

και κινητή την κορυφή

.

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο ( καρτεσιανή εξίσωση ) του εγκέντρου του ,

.

abgd · #2

Σύμφωνα με την παρακάτω πρόταση, η απάντηση στο ζητούμενο της άσκησης είναι ότι, ο γ.τ. του έκκεντρου $\displaystyle{Ε}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ είναι η έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle{\boxed{x^2+4y^2=9}}$ , εκτός των κορυφών της $\displaystyle{B, C}$ .
Πρόταση.
Έστω η έλλειψη με εστίες $\displaystyle{E(\gamma, 0), \ \ E'(-\gamma , 0)}$ , μήκος μεγάλου άξονα $\displaystyle{2a}$ και μικρού $\displaystyle{2b}$ , με $\displaystyle{b^2=a^2-\gamma^2}$ .
Αν $\displaystyle{A(k,m)}$ σημείο της έλλειψης διαφορετικό από τις κορυφές της στο μεγάλο άξονα, τότε ο γ.τ.
του έκκεντρου $\displaystyle{K\left(x_e,y_e\right)}$ του τριγώνου $\displaystyle{AEE'}$
είναι έλλειψη εκτός των κορυφών της $\displaystyle{E, E'}$ .
Απόδειξη.
Η περίμετρος του τριγώνου $\displaystyle{AEE'}$ είναι $\displaystyle{2\tau=2\gamma+2a}$ και αν $\displaystyle{r}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε: $\displaystyle{(AEE')=r\tau=|m|\gamma\Rightarrow r=\frac{|m|\gamma}{a+\gamma}}$ .
Έτσι, η τεταγμένη του έκκεντρου του τριγώνου θα είναι $\displaystyle{\boxed{y_e=\frac{m\gamma}{a+\gamma}}\bf(1)}$ .
Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης γνωρίζουμε ότι η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{EAE'}$ είναι κάθετη στην εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της $\displaystyle{A}$ .
Αυτό θα μας δώσει εύκολα την εξής ισότητα: $\displaystyle{-a^2m\left(x_e-k\right)+b^2k\left(y_e-m\right)=0}$ .
Αυτή η ισότητα σε συνδυασμό με την $\displaystyle{\bf(1)}$ , και τις απαραίτητες πράξεις, θα μας δώσει την τετμημένη του έκκεντρου:
$\displaystyle{\boxed{x_e=\epsilon k}\bf(2)}$ , με $\displaystyle{\epsilon =\frac{\gamma}{a}}$ την εκκεντρότητα της έλλειψης.
Από τις $\displaystyle{\bf{(1),(2)}$ και την $\displaystyle{\dfrac{k^2}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2}=1}$ προκύπτει εύκολα η

$\displaystyle{\boxed{\dfrac{x_e^2}{\gamma^2}+\dfrac{y_e^2}{\left(b \dfrac{\epsilon+1}{\epsilon}\right)^2}=1}}$ .

: egentro.png (39.16 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 11, 2024 10:29 am
Εγκεντρικός τόπος.pngΤο τρίγωνο του σχήματος έχει περίμετρο και κινητή την κορυφή .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο ( καρτεσιανή εξίσωση ) του εγκέντρου του , .

Έστω

η διχοτόμος του τριγώνου. Επειδή AB+AC=10

το

θα κινείται σε έλλειψη με μεγάλο άξονα

και

εστίες τα B, C.

Άρα θα έχει εξίσωση $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.$ Με τις συντεταγμένες των σημείων που φαίνονται στο σχήμα είναι

$\displaystyle A{B^2} = {({x_1} + 3)^2} + {y_1}^2,$ κι επειδή τα x_1, y_1

επαληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης, είναι 5AB=3x_1+25.

Ομοίως

αφού

: Εγκεντρικός τόπος.png (20.16 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Το

ισαπέχει από τις AB, AC,

άρα $\displaystyle \frac{{d + 3}}{{3{x_1} + 25}} = \frac{{3 - d}}{{25 - 3{x_1}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{d=\frac{9x_1}{25}}$ (1)

Εξάλλου, $\displaystyle \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow (x - {x_1},y - {y_1}) = \frac{5}{3}(d - x, - y)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {x_1} = \frac{{5x}}{3},{y_1} = \frac{{8y}}{3}$

Αντικαθιστώντας τώρα στην $\displaystyle 16{x_1}^2 + 25{y_1}^2 = 400,$ βρίσκουμε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου

$\boxed{x^2+4y^2=9}$ που είναι έλλειψη με εξαίρεση τα σημεία B, C.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Θα ήθελα να θυμίσω ότι οι συντεταγμένες του εγκέντρου τριγώνου ABC

με
$A\left( x_{1},y_{1} \right),B\left( x_{2},y_{2} \right) ,C\left( x_{3},y_{3} \right)$ είναι

$\displaystyle x_{E}=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, y_{E}=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}$

όπου $a=\left( BC \right), b=\left( AC \right), c=\left( AB \right)$

Το θέμα λύνεται απλά πλέον...

Εγκεντρικός τόπος

Εγκεντρικός τόπος

Re: Εγκεντρικός τόπος

Re: Εγκεντρικός τόπος

Re: Εγκεντρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση