Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Οι κύκλοι (O , R)

και

εφάπτονται μεταξύ τους , καθώς και στις πλευρές των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{C}$ αντίστοιχα ,

του ορθογωνίου ABCD

. Η διάκεντρος OK=R+r =d

, είναι σταθερή κατά μήκος , αλλά σχηματίζει

μεταβλητή γωνία $\theta$ ως προς την πλευρά

. α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του ABCD

είναι ανεξάρτητο από

τα μήκη των R , r

... β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ABCD

( κατά προτίμηση χωρίς χρήση παραγώγων ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2024 10:07 am
Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται μεταξύ τους , καθώς και στις πλευρές των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{C}$ αντίστοιχα ,

του ορθογωνίου . Η διάκεντρος , είναι σταθερή κατά μήκος , αλλά σχηματίζει

μεταβλητή γωνία $\theta$ ως προς την πλευρά . α) Δείξτε ότι το εμβαδόν του είναι ανεξάρτητο από

τα μήκη των ... β) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του ( κατά προτίμηση χωρίς χρήση παραγώγων ) .

Προφανώς είναι $AB=d+d\cos \theta =d\left( 1+\cos \theta \right)$ και $AD=d+d\sin \theta =d\left( 1+\sin \theta \right)$ οπότε $\left( ABCD \right)={{d}^{2}}\left( 1+\cos \theta \right)\cdot \left( 1+\sin \theta \right)$ ανεξάρτητο των R,r

Είναι $1+\cos \theta =1+\dfrac{1-{{\tan }^{2}}\dfrac{\theta }{2}}{1+{{\tan }^{2}}\dfrac{\theta }{2}}=\dfrac{2}{1+{{\tan }^{2}}\dfrac{\theta }{2}}$ και $1+\sin \theta =1+\dfrac{2\tan \dfrac{\theta }{2}}{1+{{\tan }^{2}}\dfrac{\theta }{2}}=\dfrac{{{\left( 1+\tan \dfrac{\theta }{2} \right)}^{2}}}{1+{{\tan }^{2}}\dfrac{\theta }{2}}$
Άρα $\dfrac{\left( ABCD \right)}{2}={{d}^{2}}{{\left( \dfrac{1+\tan \dfrac{\theta }{2}}{1+{{\tan }^{2}}\dfrac{\theta }{2}} \right)}^{2}}$
Θέτουμε $\sqrt{\dfrac{\left( ABCD \right)}{2}}=k$ και $\tan \dfrac{\theta }{2}=y$ και ισοδύναμα παίρνουμε (χωρίς το σταθερό ${{d}^{2}}$ ) $k=\dfrac{1+y}{1+{{y}^{2}}}\Leftrightarrow k{{y}^{2}}-y+k-1=0$ η οποία για να έχει λύση ως προς

αρκεί $\Delta \ge 0\Leftrightarrow 1-4k\left( k-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{k}^{2}}-k\le \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow$ ${{\left( k-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\le \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| k-\dfrac{1}{2} \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow 0\le k\le \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ με

$\max k=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$ $\max \sqrt{\dfrac{\left( ABCD \right)}{2}}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}d\Leftrightarrow \max \left( ABCD \right)=\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}\cdot {{d}^{2}}$ για $y=\tan \left( \dfrac{\theta }{2} \right)\overset{-\dfrac{\beta }{2\alpha }}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{2\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}-1$ άρα για $\theta =2arc\tan \left( \sqrt{2}-1 \right)$

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2024 11:40 am
$\theta =2arc\tan \left( \sqrt{2}-1 \right)$

.
Ας το συνεχίσουμε: Δείξτε ότι $\theta = 45 ^o$ .

Nikitas K. · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2024 10:23 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2024 11:40 am
$\theta =2arc\tan \left( \sqrt{2}-1 \right)$
.
Ας το συνεχίσουμε: Δείξτε ότι $\theta = 45 ^o$ .

$\displaystyle \theta =2arc\tan \left( \sqrt{2}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{\theta}{2} = arc\tan \left( \sqrt{2}-1 \right)$
$\displaystyle \Rightarrow \tan{\frac{\theta}{2}} = \sqrt{2} - 1$
$\displaystyle \wedge~ \tan{\theta} = \frac{ 2\tan{\frac{\theta}{2}} }{1-\tan^2{\frac{\theta}{2}}} = \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{1-(\sqrt{2} - 1)^2} = 1$
$\Rightarrow \theta = 45^\circ$ εφόσον η $\theta$ είναι οξεία.

KARKAR · #5

: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png (21.44 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Λήμμα : Δείξτε ότι : $1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}(1+\sin x+\cos x)^2$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 05, 2024 7:23 am
Λήμμα : Δείξτε ότι : $1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}(1+\sin x+\cos x)^2$

$\dfrac{1}{2}(1+\sin x+\cos x)^2 = \dfrac{1}{2}(1+\sin ^2x+\cos ^2x +2 \sin x + 2\cos x + 2\sin x \cos x)$ που ισούται με το αριστερό μέλος μετά την $\sin ^2x+\cos ^2x =1$ το συμμάζεμα. Και συνεχίζουμε από εκεί: Αφού $\sin x+\cos x\le \sqrt {2(\sin ^2x+\cos ^2x )} = \sqrt 2$ με ισότητα όταν $\sin x =\cos x$ (δηλαδή x=45^o

), εύκολα βρίσκουμε ότι το ζητούμενο μέγιστο είναι $\dfrac{1}{2}(1+\sqrt 2)^2 = \dfrac{1}{2}(3+2 \sqrt 2)$ , όπως πριν.

Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Re: Μεγιστοποίηση ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση