Πιθανότητα ισότητας

#1

Επιλέγουμε αριθμούς x,y,z

στο διάστημα [-1,1]

ανεξάρτητα και ομοιόμορφα στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να ισχύει το πιο κάτω;

$\displaystyle |x| + |y| + |z| + |x + y + z| = |x + y| + |y + z| + |z + x|$

paulgai · #2

Η λύση της άσκησης, η συγγραφή και η εκτέλεση του κώδικα πραγματοποιήθηκε εξ ολοκλήρου με τη χρήση του μοντέλου o1-mini

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να ισχύει η εξίσωση:

$\displaystyle |x| + |y| + |z| + |x + y + z| = |x + y| + |y + z| + |z + x|$

όπου οι

,

και

επιλέγονται ανεξάρτητα και ομοιόμορφα στο διάστημα [-1, 1]

, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βήμα 1: Κατηγορίες Συνδυασμών Συμβόλων

Τα

,

, και

μπορούν να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά. Εξετάζουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Όλα τα , , και είναι θετικά ή όλα αρνητικά:
Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση ισχύει πάντα.
Η πιθανότητα να είναι όλα θετικά ή όλα αρνητικά είναι $2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{4}$ .

2. Ακριβώς ένα από τα , , είναι θετικό και τα άλλα δύο αρνητικά:
Υποθέτουμε, για παράδειγμα, ότι το

είναι θετικό και τα

,

αρνητικά.

Μετατρέπουμε τις μεταβλητές a = x

,

, όπου $a, b, c \in [0,1]$ .
Η εξίσωση γίνεται: a + b + c + |a - b - c| = |a - b| + |a - c| + b + c

.
Αναλύοντας, καταλήγουμε ότι η εξίσωση ισχύει αν $a \geq b + c$ .
Η πιθανότητα για κάθε τέτοιο σενάριο είναι $\frac{1}{6}$ .
Συνολικά, για τα 3 πιθανά τέτοια σενάρια, η πιθανότητα είναι $3 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{8}= \frac{1}{16}$ .

3. Ακριβώς δύο από τα , , είναι θετικά:
Παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση, η εξίσωση ισχύει αν το αρνητικό στοιχείο έχει απόλυτη τιμή τουλάχιστον ίση με το άθροισμα των δύο άλλων.
Η πιθανότητα για κάθε τέτοιο σενάριο είναι $\frac{1}{6}$ .
Συνολικά, για τα 3 πιθανά τέτοια σενάρια, η πιθανότητα είναι $3 \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$ .

Βήμα 2: Υπολογισμός Συνολικής Πιθανότητας

Συνοψίζοντας τις παραπάνω περιπτώσεις:

$\displaystyle P= \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$

Βήμα 3: Επαλήθευση του αποτελέσματος με monte carlo

Ο παρακάτω κώδικας σε Python προσομοιώνει πειραματικά το πρόβλημα. Μετά από 1.000.000 επαναλήψεις επέστρεψε:

$\displaystyle 0.374721 \approx 0.375=\frac{3}{8}$

Κώδικας: Επιλογή όλων

import numpy as np

def monte_carlo_simulation(trials):
    valid_cases = 0
    
    for _ in range(trials):
        # Επιλέγουμε τυχαία x, y, z στο διάστημα [-1, 1]
        x, y, z = np.random.uniform(-1, 1, 3)
        
        # Υπολογίζουμε τις δύο πλευρές της εξίσωσης
        left_side = abs(x) + abs(y) + abs(z) + abs(x + y + z)
        right_side = abs(x + y) + abs(y + z) + abs(z + x)
        
        # Ελέγχουμε αν η εξίσωση ισχύει
        if np.isclose(left_side, right_side):
            valid_cases += 1
    
    # Η πιθανότητα είναι το ποσοστό των έγκυρων περιπτώσεων
    probability = valid_cases / trials
    return probability

# Ορισμός αριθμού δοκιμών
trials = 1000000
probability = monte_carlo_simulation(trials)
probability

Πιθανότητα ισότητας

Πιθανότητα ισότητας

Re: Πιθανότητα ισότητας

Μέλη σε σύνδεση