Ασυνήθιστο μέγιστο

#1

Έστω η συνάρτηση

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x &, x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\\ \frac{q+1}{p}&, x=\frac{q}{p},p,q \in \mathbb{N^{^{*}}}, p> q, \left( p,q \right)=1 \end{matrix}\right.$

Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης

όταν $x \in \left( \frac{7}{8},\frac{8}{9} \right)$

Υ.Γ: Ταλαιπωρήθηκα αφάνταστα για να γράψω την εκφώνηση σε latex. Ζητώ συγγνώμη για τυχούσες ατέλειες.

#2

Ας ονομάσουμε

την γνησίως αύξουσα συνάρτηση $h\left( x\right) =\allowbreak \frac{7}{8}+\frac{1}{72}x$ που απεικονίζει το (0,1)

επί του $\left( \frac{7}{8},\frac{8}{9}\right)$ η οποία έχει αντίστροφη την $g\left( x\right) =72x-63$ .
Θα βρούμε πρώτα την μέγιστη τιμή της σύνθεσης $s=f\circ h$ και μετά της

.
Για τα ρητά σημεία

του

έχουμε ότι $x=\frac{\mu }{\mu +\kappa }$ με τους $\mu$ , $\kappa$ να είναι θετικοί ακέραιοι.
Είναι
$h\left( \frac{\mu }{\mu +\kappa }\right) =\frac{64\mu +63\kappa }{72\mu +72\kappa }$
Με $\alpha =64\mu +63\kappa$ , $\beta =72\mu +72\kappa$ και $d=(\alpha, \beta)$ να είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους το κλάσμα $\frac{\alpha /d}{\beta /d}$ είναι ανάγωγο και ίσο με το $\frac{64\mu +63\kappa }{72\mu +72\kappa }$ . Άρα
$f\left( h\left( \frac{\mu }{\mu +\kappa }\right) \right) =f\left( \frac{64\mu +63\kappa }{72\mu +72\kappa }\right) =f\left( \frac{\frac{\alpha }{d}}{\frac{\beta }{d}}\right) =\frac{\frac{\alpha }{d}+1}{\frac{\beta }{d}}=\allowbreak \frac{\alpha +d}{\beta }=\frac{64\mu +63\kappa +\left( 64\mu +63\kappa ,72\mu +72\kappa \right) }{72\mu +72\kappa }$
Από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη βρίσκουμε ότι
$\left( 64\mu +63\kappa ,72\mu +72\kappa \right) =\allowbreak \left( 8\mu ,9\kappa \right)$
επομένως
$f\left( h\left( \frac{\mu }{\mu +\kappa }\right) \right) =\frac{64\mu +63\kappa +\allowbreak \left( 8\mu ,9\kappa \right) }{72\mu +72\kappa }$
Το τελευταίο κλάσμα μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί ο ΜΚΔ που είναι προσθετέος στον αριθμητή. Αυτός δεν μπορεί να υπερβεί το minimum των $8\mu, 9\kappa$ δηλαδή τον αριθμό
$\frac{8\mu +9\kappa -\left| 8\mu -9\kappa \right| }{2}$
που γίνεται μέγιστος όταν $8\mu -9\kappa=0$ δηλαδή όταν $\kappa =\frac{8}{9}\mu$ .
Άρα το $f\left( h\left( \frac{\mu }{\mu +\kappa }\right) \right)$ δεν υπερβαίνει το
$\frac{64\mu +63\cdot \frac{8}{9}\mu +8\mu }{72\mu +72\cdot \frac{8}{9}\mu }=\allowbreak \frac{16}{17}$ .
Η τιμή αυτή επιτυγχάνεται λ.χ. για $\mu=9$ και $\kappa=8$ .

Για τα άρρητα σημεία

του

) έχουμε ότι $f\left( h\left( x\right) \right) =f\left( \allowbreak \frac{7}{8}+\frac{1}{72}x\right) =\allowbreak \frac{7}{8}+\frac{1}{72}x<\frac{7}{8}+\frac{1}{72}\cdot 1=\allowbreak \frac{8}{9}<\allowbreak \frac{16}{17}$ .

Συμπεραίνουμε λοιπόν, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, ότι η μέγιστη τιμή της $s=f\circ h$ είναι η $\frac{16}{17}$ . Αφού
$\frac{15}{17}\in \left( \frac{7}{8},\frac{8}{9}\right)$ , $g\left( \frac{15}{17}\right) =\allowbreak \frac{9}{17}$ και $s\left( \allowbreak \frac{9}{17}\right) =\frac{16}{17}$
η μέγιστη τιμή της $f=s\circ h^{-1}$ είναι $\frac{16}{17}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Μια heuristic λύση (λιγότερο ποιοτική από τη σαφώς ανώτερη λύση του κυρίου Μαυρογιάννη) θα μπορούσε να προκύψει ως εξής.
Έστω $x\in \left(\dfrac{7}{8},\dfrac{8}{9}\right)$
Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι αν

άρρητος, θεωρώντας ρητό

με $x<r<\dfrac{8}{9}$ έχουμε f(x)=x<r<f(r)

οπότε το μέγιστο της

, εάν υπάρχει, θα εμφανίζεται στους ρητούς αριθμούς.
Με την ίδια λογική εάν υπάρχει μέγιστο θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσο με $\dfrac{8}{9}$
Παρατηρούμε ότι μερικοί ρητοί του $\left(\dfrac{7}{8},\dfrac{8}{9}\right)$ στους οποίους η τιμή της

ξεπερνά το $\dfrac{8}{9}$ είναι οι $\dfrac{63}{71},\dfrac{36}{41},\dfrac{22}{25},\dfrac{15}{17}$
Για οποιοδήποτε ανάγωγο κλάσμα $\dfrac{p}{q}\in \left(\dfrac{7}{8},\dfrac{8}{9}\right)$ με p,q

φυσικούς διαφόρους του μηδενός
αν ισχύει $f(\dfrac{p}{q})\ge f(\dfrac{15}{17})=\dfrac{16}{17}$
θα πρέπει $\dfrac{p+1}{q}\ge \dfrac{16}{17}$ και $-\dfrac{p}{q}>-\dfrac{8}{9}$
Αθροίζοντας τις δυο τελευταίες ανισότητες κατά μέλη έχουμε $\dfrac{1}{q}>\dfrac{8}{153}$ ή $q<\dfrac{153}{8}$ οπότε $1\le q\le 19$
Όμως ο μόνος ρητός αριθμός με παρανομαστή μη μηδενικό φυσικό μικρότερο ή ίσο του

που βρίσκεται στο διάστημα $\left(\dfrac{7}{8},\dfrac{8}{9}\right)$ είναι ο $\dfrac{15}{17}$
(μέχρι παρανομαστή ίσο με

είναι προφανές ενώ για αριθμητή μέχρι και

ελέγχεται εύκολα με ένα απλό αρχείο xls)
Αυτό σημαίνει ότι η

παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της ακριβώς τότε όταν $x=\dfrac{15}{17}$ $\blacksquare$

Ασυνήθιστο μέγιστο

Ασυνήθιστο μέγιστο

Re: Ασυνήθιστο μέγιστο

Re: Ασυνήθιστο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση