Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Antonis Loutraris · #1

Καλησπέρα σας.

Μετά απο καιρό να βάλω εκ νέου μία άσκηση σε ποιοτική θεωρία συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών:

$\displaystyle{y'(t)=t^{2}\cdot y^{2}(t)-1,t>0}$ με y(0)=0.

(1) Εξετάστε την μονοτονία της λύσης y(t)

στο διάστημα ύπαρξης.

(2) Να δειχθεί οτι οι λύσεις ορίζονται για όλους τους χρόνους.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω

η δοσμένη διαφορική εξίσωση και $(\Pi)$ το δοσμένο πρόβλημα αρχικών τιμών

Θα αποδείξουμε ακόλουθα:
#1. Για κάθε $y\colon[0,a)\to\mathbb{R}$ λύση του $(\Pi)$ όπου a>0

υπάρχουν δυο περιπτώσεις:
1) $\forall t \ge 0\ y^\prime(t)<0$ οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει $a<\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
2) $\exists! t_o>0\ y^\prime(t_o)=0$ και $\forall t\in [0,t_o)\ y^\prime(t)<0$ και $\forall t\in (t_o,a)\ y^\prime(t)>0$
οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,t_o]

και γνησίως αύξουσα στο [t_o,a)

#2. Για κάθε a_1,a_2>0

με

και $y_i\colon[0,a_i)\to\mathbb{R}$ λύσεις του $(\Pi)$ με i=1,2

ισχύει ότι y_1,y_2

ίσες στο

#3. Υπάρχει για το $(\Pi)$ λύση $y\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ και είναι μοναδική.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

#1. Κατ' αρχάς αν το $(\Pi)$ έχει λύση τότε υπάρχουν σίγουρα λύσεις που ανήκουν στην περίπτωση 1)
Πράγματι, η (*)

γράφεται και $y^\prime(t)=(t\cdot y(t)+1)(t\cdot y(t)-1)$ και παρατηρούμε ότι η

είναι συνάρτηση $\mathcal{C}^\infty$
Θέτοντας t=0

έχουμε $y^\prime(0)=-1$ οπότε υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε $y^\prime(t)<0$ στο $[0,\varepsilon)$
οπότε ο περιορισμός της

στο $[0,\varepsilon)$ είναι λύση της περίπτωσης 1)

Έστω τώρα $y\colon[0,a)\to\mathbb{R}$ μια λύση του $(\Pi)$ της περίπτωσης 1)
Επειδή η

θα είναι γνησίως φθίνουσα και y(0)=0

το δεξί μέλος της (*)

θα είναι γνησίως αύξουσα οπότε το ίδιο θα είναι και η $y^\prime$
Αν ίσχυε $a\ge\phi$ θα είχαμε: $-1=y^\prime(0)<\frac{y(1)-0}{1-0}<y^\prime(1)=y(1)^2-1$ οπότε $-1<y(1)<-\frac{1}{\phi}$
Η (συνεχής) $\color{blue} t\cdot y(t)+1$ θα διατηρεί πρόσημο οπότε $\color{blue} t\cdot y(t)+1>0$ και συνεπώς $y(t)>-\frac{1}{t}$ για κάθε t>0

.
έχουμε $-\frac{1}{\phi}>y(1)>y(a)>-\frac{1}{a}$ $\Rightarrow a<\phi$ άτοπο

Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε μια λύση του $(\Pi)$ που δεν είναι της περίπτωσης 1) δηλαδή $\exists t>0\ y^\prime(t)=0$
Θέτουμε $t_o=\inf\{t>0\ |\ y^\prime(t)=0\}$ , από τη συνέχεια της $y^\prime$ είναι $y^\prime(t_o)=0$
και από την (*)

λαμβάνουμε $y(t_o)=-\frac{1}{t_o}$

Είναι $y^{\prime\prime}=2ty\cdot(y+ty^\prime)$ οπότε $y^{\prime\prime}(t_o)>0$ επομένως θα υπάρχει ένα $\varepsilon>0$
ώστε $y^\prime(t)>0$ στο $(t_o,t_o+\varepsilon)$ (από τον ορισμό της παραγώγου και τις ιδιότητες των ορίων)

Θα δείξουμε ότι $\forall t>t_o\ y^\prime(t)\ne0$ οπότε στο [t_o,a)

η $y^\prime$ θα διατηρεί (θετικό) πρόσημο, οπότε

γνησίως αύξουσα στο [t_o,a)

Έστω αντίθετα ότι μηδενίζεται σε κάποιο t>t_o

και $t_1=\inf\{t>t_o|y^\prime(t)=0\}$
Θα είναι $y^\prime(t_1)=0$ και στο διάστημα (t_o,t_1)

η $y^\prime$ θα είναι θετική.
Θεωρούμε $g(t)=y(t)+\frac{1}{t}$ για t>t_o

Στο διάστημα [t_o,t_1]

η

δεν θα μηδενίζεται, θα διατηρεί πρόσημο, ίδιο με του y(t_o)<0

οπότε

Στο διάστημα (t_o,t_1)

έχουμε

$\Rightarrow t|y(t)|>1$ $\Rightarrow y(t)<-\frac{1}{t}$ $\Rightarrow \color{red} g(t)<0$
Επειδή $g^\prime(t_1)=y^\prime(t_1)-\frac{1}{t_1^2}<0$ θα υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε για $t\in(t_1-\varepsilon,t_1)$ να ισχύει g(t)>g(t_1)

οπότε $\color{red}g(t)>0$ άτοπο $\color{red}\blacksquare$

#2. Θεωρούμε τις περιττές επεκτάσεις των $y_{1,2}$ , (Σημείωση #1 στο τέλος) που είναι επίσης λύσεις του $(\Pi)$
Θεωρούμε το σύνολο $A=\{\varepsilon>0\ |\ \forall t\in[0,\varepsilon)\ y_1(t)=y_2(t) \}$
Από τo P-L (Σημείωση #2 στο τέλος) έχουμε $A\ne \emptyset$ οπότε επειδή το

έχει το $\varepsilon_1$ άνω φράγμα, θέτουμε $s_o=\sup A$

Αν $s_o=\varepsilon_1$ δεν έχουμε κάτι να αποδείξουμε.
Έστω $s_o<\varepsilon_1$ οπότε για $t\to s_o^{-}$ θα έχουμε y_1(s_o)=y_2(s_o)=y_o

οπότε οι $y_{1,2}$ είναι λύσεις της (*)

με αρχική συνθήκη y(s_o)=y_o

οπότε από το P-L
έπεται ότι θα υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε οι $y_{1,2}$ να είναι ίσες στο $(s_o-\varepsilon,s_o+\varepsilon)$
Αυτό σημαίνει ότι $\sup A = s_o < s_o+\varepsilon\in A$ άτοπο $\color{orange}\blacksquare$

Άμεση συνέπεια αυτού που δείξαμε είναι ότι αν υπάρχει λύση του $\Pi$ για όλους τους χρόνους, θα είναι μοναδική

#3. Από το P-L υπάρχει $\varepsilon>0$ και $y\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}$ λύση του $(\Pi)$
Θεωρούμε το μη κενό σύνολο

των $\varepsilon>0$ για τα οποία το δοθέν πρόβλημα έχει μια λύση $y\colon[0,\varepsilon)\to\mathbb{R}$

Αν το

δεν έχει άνω φράγμα έχουμε τελειώσει:
Η ζητούμενη λύση λαμβάνεται ως η (συνολοθεωρητική) ένωση όλων των λύσεων στα διαστήματα $[0,\varepsilon)$ με $\varepsilon\in B$
Αυτό που δείξαμε στο #2. εξασφαλίζει ότι αυτή η ένωση είναι όντως μια συνάρτηση.

Έστω αντίθετα ότι έχει άνω φράγμα οπότε θέτουμε $a_o=\sup B$ και θεωρούμε μια λύση $y\colon[0,a_o)\to\mathbb{R}$ του $(\Pi)$

Αν η

είναι της περίπτωσης 1) τότε επειδή είναι γνησίως φθίνουσα και $\forall t\ 0>y(t)>-\frac{1}{t}$
το όριο $\ell=\lim\limits_{t\to a_o^{-}}y(t)$ θα υπάρχει και θα είναι πραγματικός αριθμός.
Από το P-L υπάρχει συνάρτηση $\tilde{y}\colon(a_o-\varepsilon,a_o+\varepsilon)\to\mathbb{R}$ που ικανοποιεί την (*)

με $\tilde{y}(a_o)=\ell$
Θεωρούμε $y_1(t)=\begin{cases}y(t) & t<a_o \\ \tilde{y}(t) & a_o \le t < a_o + \varepsilon \end{cases}$
Είναι απλό να δείξουμε ότι η y_1

είναι παραγωγίσιμη οπότε αποτελεί λύση του $(\Pi)$ στο $[0,a_o+\varepsilon)$
Συνεπώς $\sup B=a_o<a_o+\varepsilon\in B$ άτοπο.

Επομένως η

πρέπει να είναι της κατηγορίας 2) και θα υπάρχει $t_o\in(0,a_o)$ ώστε $y^\prime(t_o)=0$
Επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο [t_o,a_o)

και $\forall t>t_o\ y(t)<-\frac{1}{t}$
το όριο $\ell=\lim\limits_{t\to a_o^{-}}y(t)$ υπάρχει και θα είναι πραγματικός αριθμός.
Από το P-L στην (*)

με αρχική συνθήκη $y(a_o)=\ell$ (όπως και παραπάνω)
έπεται ότι η

μπορεί να επεκταθεί σε λύση του δοθέντος προβλήματος στο $[0,a_o+\varepsilon)$
οπότε πάλι $\sup B=a_o<a_o+\varepsilon\in B$ άτοπο.

Σε αυτό το σημείο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το δεν έχει άνω φράγμα. $\color{green}\blacksquare$

Σημείωση #1
Αν $y\colon[0,\varepsilon)\to\mathbb{R}$ είναι μια λύση του $(\Pi)$ τότε η περιττή επέκταση της

$\tilde{y}(t)=\begin{cases}y(t) & 0\le t\le \varepsilon \\ -y(-t) & -\varepsilon<t<0\end{cases}$ είναι λύση της (*)

με αρχική συνθήκη y(0)=0

Πράγματι, για t<0

είναι $\tilde{y}^\prime(t)=y^\prime(-t)=(-t)^2y(-t)^2-1=t^2\tilde{y}(t)^2-1$
ενώ για t=0

έχουμε $\lim\limits_{t\to0^-}\frac{\tilde{y}(t)-0}{t}$ $=\lim\limits_{t\to0^-}\frac{-y(-t)-0}{t}$ $=\lim\limits_{u\to0^+}\frac{-y(u)-0}{-u}$ $=y^\prime(0)=-1$
οπότε $\tilde{y}^\prime(0)=0^2\cdot \tilde{y}(0)-1$
Επομένως η $\tilde{y}$ είναι παραγωγίσιμη και είναι λύση του $(\Pi)$

Σημείωση #2
Θεωρούμε $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ με f(t,y)=t^2y^2-1

η οποία είναι σε οποιοδήποτε κλειστό και φραγμένο ορθογώνιο $D=[a,b]\times [c,d]$ συνεχής ως προς

και Lipschitz ως προς

(με σταθερά Lipschitz ανεξάρτητη του

)
Από το Θεώρημα Picard-Lindelöf (https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2 ... 6f_theorem) (P-L εντός της παραπάνω απόδειξης)
για κάθε $(t_o,y_o)\in\mathbb{R}^2$ υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε για κάθε $\varepsilon^\prime$ με $0<\varepsilon^\prime<\varepsilon$
να υπάρχει μοναδική συνάρτηση $y\colon(t_o-\varepsilon^\prime,t_o+\varepsilon^\prime)\to\mathbb{R}$ με y(t_o)=y_o

που ικανοποιεί την (*)

Antonis Loutraris · #3

κ.Κωνσταντόπουλε.

Σας ευχαριστώ θερμά για την ενασχόληση!

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Re: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Re: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση