Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Να βρεθεί ένα παράδειγμα μη γραμμικής, παραγωγίσιμης
συνάρτησης $k\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που να έχει την ιδιότητα

$k^\prime(x)=k(x+1)-k(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2024 5:05 pm
Να βρεθεί ένα παράδειγμα μη γραμμικής, παραγωγίσιμης
συνάρτησης $k\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που να έχει την ιδιότητα

$k^\prime(x)=k(x+1)-k(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Οι σταθερές συναρτήσεις είναι παραδείγματα, για προφανείς λόγους. (*)

Από εκεί και πέρα αποδεικνύεται (το αφήνω ως άσκηση) ότι οι μόνες πολυωνυμικές είναι της μορφής k(x)=ax+b

.

(*) Ιάσονα, αυτό ζητάς ή μήπως θέλεις μια πραγματικά μη τετριμμένη συνάρτηση, πέρα από τις γραμμικές f(x)=ax

, που ικανοποιεί την εξίσωση;

#3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2024 5:05 pm
Να βρεθεί ένα παράδειγμα μη γραμμικής, παραγωγίσιμης
συνάρτησης $k\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που να έχει την ιδιότητα

$k^\prime(x)=k(x+1)-k(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Αυτή είναι μια DDΕ (Delay differential equation )
Νομίζω ότι ξεφεύγει από αυτόν το φάκελλο .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 12:47 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2024 5:05 pm
Να βρεθεί ένα παράδειγμα μη γραμμικής, παραγωγίσιμης
συνάρτησης $k\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που να έχει την ιδιότητα

$k^\prime(x)=k(x+1)-k(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$
Οι σταθερές συναρτήσεις είναι παραδείγματα, για προφανείς λόγους. (*)

Από εκεί και πέρα αποδεικνύεται (το αφήνω ως άσκηση) ότι οι μόνες πολυωνυμικές είναι της μορφής .

(*) Ιάσονα, αυτό ζητάς ή μήπως θέλεις μια πραγματικά μη τετριμμένη συνάρτηση, πέρα από τις γραμμικές , που ικανοποιεί την εξίσωση;

Καλημέρα,

ακριβώς αυτό! Μια μη τετριμμένη συνάρτηση,
την οποία πρέπει να αναζητήσουμε, όπως επισημαίνετε, εκτός του υποχώρου των πολυωνυμικών συναρτήσεων!
(Λέγοντας γραμμική είχα τον εξής ορισμό υπ' όψιν https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_fu ... (calculus))

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 10:40 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2024 5:05 pm
Να βρεθεί ένα παράδειγμα μη γραμμικής, παραγωγίσιμης
συνάρτησης $k\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που να έχει την ιδιότητα

$k^\prime(x)=k(x+1)-k(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$
Αυτή είναι μια DDΕ (Delay differential equation )
Νομίζω ότι ξεφεύγει από αυτόν το φάκελλο .

Χαίρετε!

Πολύ σωστά, η εξίσωση κατατάσσεται στις DDE,
ωστόσο το πρόβλημα μπορεί να λυθεί εντός των σχολικών μαθηματικών.

Ευρηματικότητα χρειάζεται, αλλά δεν χρειάζονται ειδικές συναρτήσεις
ή τεχνικές και θεωρία που είναι εκτός των πλαισίων της Γ΄ Λυκείου!

Σημειώνω πως είναι πιο εύκολο να αντιμετωπίσει κανείς την
$k(x+1)-k(x)=a k^\prime(x)$ με $\color{red}0<a\ne1$

και αυτό ακριβώς είναι που καθιστά ιδιαίτερη την περίπτωση $\color{red}a=1$ που αφορά το αρχικό πρόβλημα!

#6

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 1:15 pm
Σημειώνω πως είναι πιο εύκολο να αντιμετωπίσει κανείς την
$k(x+1)-k(x)=a k^\prime(x)$ με $\color{red}0<a\ne1$

Για την ώρα, ας δούμε το εύκολο: Επιλέγουμε

μία (αρνητική) λύση της εξίσωσης $\dfrac {e^p -1}{p} = a$ . Τέτοια λύση υπάρχει γιατί αν $p\to 0$ τότε το αριστερό μέλος τείνει στο

, άρα είναι μεγαλύτερο από το δεξί, ενώ αν $p\to -\infty$ τότε το αριστερό μέλος τείνει στο

, άρα είναι μικρότεροτερο από το δεξί. Για ένα τέτοιο

η $k(x) = e^{px}$ κάνει την δουλειά γιατί

$k'(x) = pe^{px}$ και

$k(x+1)-k(x) = e^{p(x+1)}-e^{px} = e^{px} ( e^p-1) =ap e^{px} = ak'(x)$ , όπως θέλαμε.

#7

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 22, 2024 5:05 pm
Να βρεθεί ένα παράδειγμα μη γραμμικής, παραγωγίσιμης
συνάρτησης $k\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που να έχει την ιδιότητα

$k^\prime(x)=k(x+1)-k(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$

.
Θα δούμε ότι υπάρχουν θετικοί αριθμοί a,b

τέτοιοι ώστε η $\boxed {k(x)=e^{ax} \cos bx}$ είναι κατάλληλη. Πράγματι, η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{ae^{ax} \cos bx -be^{ax} \sin bx = e^{a(x+1)} \cos b(x+1) - e^{ax} \cos bx}$ ισοδύναμα

$\displaystyle{e^{ax} (a\cos bx -b \sin bx ) = e^{ax} \left [(e^a \cos bx \cos b - e^a \sin bx \sin b)- \cos bx \right ] \,(*)}$

Απλοποιούμε το $e^{ax}$ και μετά εξισώνουμε τους συντελεστές των $\cos bx, \, \sin bx$ στα δύο μέλη. Θα βρούμε

$\displaystyle{a = e^a \cos b - 1}$ και
$\displaystyle{b = e^a \sin b}$

Αρα $\displaystyle{e^a \cos b = 1+a }$ και $\displaystyle{e^a \sin b=b}$ ----(1)

Θα δείξουμε τώρα ότι το σύστημα αυτό των a,b

έχει λύση, οπότε τελειώσαμε γιατί τότε ικανοποιείται η (*)

:

Υψώνοντας και τις δύο στο τετράγωνο θα και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $e^{2a} = (1+a)^2 +b^2$ . Παίρνοντας την θετική τιμή έχουμε

$b = \sqrt { e^{2a} -(1+a)^2}$ , άρα στην πρώτη εξίσωση παίρνουμε $\displaystyle{\cos \sqrt { e^{2a} -(1+a)^2} = \dfrac {1+a}{e^a} \,(**)}$

Παρατηρούμε ότι για a>0

με $a\to +\infty$ , το $\sqrt { e^{2a} -(1+a)^2} \to +\infty$ , οπότε το $\displaystyle{\cos \sqrt { e^{2a} -(1+a)^2} }$ παίρνει όλες τις τιμές από

στο

. Από την άλλη το δεξί μέλος της (**)

τείνει στο

. Συνεπώς υπάρχουν (άπειρες το πλήθος) τιμές του

που τα δύο μέλη είναι ίσα. Επιλέγουμε ένα τέτοιo

και ορίζουμε το

από την $b = \sqrt { e^{2a} -(1+a)^2}$ . Αντίστροφα, ένα τέτοιο ζεύγος a,b

ικανοποιεί τις (1)

(άμεσο) και άρα την αρχική. Τελειώσαμε.

Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Re: Συναρτησιακή Διαφορική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση