Τριγωνομετρικό-συναρτησιακή συνθήκη για εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Για την συνάρτηση f(x)

είναι γνωστό ότι έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $\left [\dfrac{2}{5}, \dfrac{5}{2} \right ]$ και ικανοποιεί σε αυτό το διάστημα το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \cos \left ( 2f(x) \right) -6\cos^2 f \left ( \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1-3x}{x} \\ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right.}$ .

Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=\dfrac{5\pi}{12}$ .

(Για Γ' Λύκείου)

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 03, 2020 12:27 pm
Για την συνάρτηση είναι γνωστό ότι έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $\left [\dfrac{2}{5}, \dfrac{5}{2} \right ]$ και ικανοποιεί σε αυτό το διάστημα το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \cos \left ( 2f(x) \right) -6\cos^2 f \left ( \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1-3x}{x} \\ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right.}$ .

Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=\dfrac{5\pi}{12}$ .

(Για Γ' Λύκείου)

Είναι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \cos \bigl ( 2f(x) \bigr) - 6 \cos^2 f \left ( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1 - 3x}{x} &\Leftrightarrow 2\cos^2 f(x) - 1 - 6\cos^2 f \left ( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1 - 3x}{x} \\[0.1in] &\Leftrightarrow 2\cos^2 f(x) - 6\cos^2 f \left ( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1 - 2x}{x} \quad (1) \end{aligned} }$
Θέτοντας, τώρα στην (1)

όπου

το $\dfrac{1}{x}$ , προκύπτει:

$\displaystyle{ 2\cos^2 f\left( \dfrac{1}{x} \right) - 6\cos^2 f(x) = x - 2 \Leftrightarrow 6\cos^2 f\left( \dfrac{1}{x} \right) - 18\cos^2 f(x) = 3x - 6 \quad (2) }$
και έτσι:

$\displaystyle{ (1), (2) \overset{(+) \;}{=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} -16\cos^2 f(x) = \dfrac{3x^2 - 8x + 1}{x} \Leftrightarrow \cos^2 f(x) = -\dfrac{3x^2 - 8x + 1}{16x} \quad (3) }$
Επειδή στο $\biggl[0, \dfrac{\pi}{2} \biggr]$ (σύνολο τιμών της

) η συνάρτηση συνημίτονο είναι γνησίως φθίνουσα, ισχύει:

$\displaystyle{ f(x) = \dfrac{5\pi}{12} \Leftrightarrow \cos f(x) = \cos \dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow \cos^2 f(x) = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} \quad (4) }$
Από τις (3)

,

:

$\displaystyle{ \begin{aligned} -\dfrac{3x^2 - 8x + 1}{16x} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow 3x^2 - 8x + 1 = 4\Bigl( \sqrt{3} - 2 \Bigr)x &\Leftrightarrow 3x^2 - 4\sqrt{3} \cdot x + 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 1 \quad \text{ \textgreek{ή} } \quad x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} - 1 \end{alinged} }$
Από τις δύο ρίζες αυτές, δεκτή γίνεται μόνο η $\boxed{x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} + 1}$ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της

και είναι η ζητούμενη.

Τριγωνομετρικό-συναρτησιακή συνθήκη για εξίσωση

Τριγωνομετρικό-συναρτησιακή συνθήκη για εξίσωση

Re: Τριγωνομετρικό-συναρτησιακή συνθήκη για εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση