ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

emily · #1

ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ????

chris · #2

Ο μεγαλύτερος εκθέτης του χ να είναι το 2 και ο συντελεστής του διάφορος του 0.(υπάρχουν και άλλες προυποθέσεις?)

Stavroulitsa · #3

Καλώς ήρθες!!!
Καλησπέρα! Βλέπω σου απάντησε ήδη ο Χρήστος, αλλά επειδή αυτός ποτέ δεν λέει τίποτα αναλυτικά, παρ' όλο που ξέρει πάρα πολλά, θα προσπαθήσω να σου το εξηγήσω πιο αναλυτικά με παραδείγματα...

Λοιπόν σε μια εξίσωση θα έχουμε και μια μεταβλητή , δηλαδή κάποιον άγνωστο αριθμό, και τη συμβολιζουμε με ένα γράμμα συνήθως x, για παράδειγμα μπορεί να έχεις 5x=10.
αυτήν είναι η προτοβάθμια εξίσωση γιατί η μεταβλητή έχει εκθέτη το 1, γνωρίζεις ότι x^1=x

.
Έτσι στην εξίσωση δευτέρου βαθμού ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής είναι το 2, δηλαδή x^2

, για παράδειγμα μπορεί να έχεις 5x^2+1=126

, όμως μπορεί να έχεις και αυτό: x^2+6x=67

, τότε λες πως η εξίσωση αυτή είναι δευτέρου βαθμού γιατί ο μεγαλύτερος εκθέτης είναι το 2...
Παρόμοια αυτήν η εξίσωση: 5x^3+x^2+6x=67

είναι τρίτου βαθμού γιατί ο μεγαλύτερος εκθέτης που υπάρχει σε μεταβλητή είναι το 3... Ομοίως και σε εξισώσεις τετάρτου, πέμπτου, έκτου, κτλ. βαθμού.
Προσοχή: η εξίσωση 5x^3+x^2+6x+5^4=67

είναι τρίτου βαθμου, μην μπερδευτείς και πεις πως είναι τετάρτου επειδή έχουμε 5^4

, παίρνουμε υπ' όψιν μας μόνο τους εκθέτες των μεταβλητών...

ΥΓ. Κοίταξε και εδώ τα εξηγεί πολύ ωραία (κάνε κλικ στις σελιδες)...

Με πολύ αγάπη,
Σταυρούλα

emily · #4

ΔΕΝ ΕΝΝΟΩ ΑΥΤΟ !!! ΕΧΩ ΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΤΟ χ ΚΑΙ ΤΟ λ ΚΑΙ Μ ΛΕΕΙ ΝΑ ΒΡΩ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ λ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΙΝΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ

emily · #5

ΜΑΛΛΟΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΩ ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΕΙΠΕΣ ΟΤΙ Ο ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΟΥ Χ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ. ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΠΑΝΤΩΣ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΔΥΟ!

chris · #6

Το καλύτερο θα ήταν να μας γράψεις την εξίσωση(έστω και αν δεν γνωρίζεις ακόμα Latex) αλλά υποψιάζομαι οτι συντελεστής του
$x^{2}$ θα δίνεται συνατήση του λ οπότε πρέπει να γράψεις οτι είναι διάφορος του 0.Αν υπάρχουν μεγαλύτεροι εκθέτες σε καποιο
χ τότε οι συντελεστές τους πρέπει να είναι 0.

ΥΓ: Σταυρούλα αναλυτική και ακριβής όπως πάντα

emily · #7

ναι ο συντελεστης του χ δινεται συναρτησει του λ οποτε αυτη ειναι η λυση!

Stavroulitsa · #8

τότε αρκεί να λύσεις απλά την εξίσωση που έχεις, δηλαδή
(συντελεστής του x)=2 $\Leftrightarrow$ (συνάρτηση του λ)=2 $\Leftrightarrow$ λ=(με όσο βρεις μετά από τις πράξεις...)

mathxl · #9

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - m} \right)x + k = 0}$ (με άγνωστο το x και m,k πραγματικούς αριθμούς)
Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών m,k ώστε:
ι. Η εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις
ιι. Η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού
ιιι. Η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου το -1 και να δέχεται ως λύση τον αριθμό 1.Έπειτα να λύσετε την εξίσωση

chris · #10

Σωστή η ιδέα σας κ.Βασίλη για παράδειγμα για την πλήρη κατανόηση του θέματος.
α)Για να έχουμε άπειρες ρίζες πρεπει $m^{2}-1=0$ και 1-m=0

και $k=0\Leftrightarrow m=1$ και k=0

β)Πρέπει $m^{2}-1\neq0\Leftrightarrow m\neq 1$ και $m\neq-1$
γ)Πρέπει $m^{2}-1=-1\Leftrightarrow m^{2}=0\Leftrightarrow m=0$ και η εξίσωση για m=0 και χ=-1 δίνει -1-1+κ=0 δηλ. κ=2
άρα $-x^{2}+x+2=0$ είναι Δ=1-4(-2)=9 άρα χ1=-1 και χ2=2

ΥΓ: Πολύ πιο αναλυτικός αυτή την φορά

mathxl · #11

Χρήστο πολύ σωστά
Στο (ι) θα ήθελα περισσότερα λόγια που να επεγηξούν γιατί μηδένισες τους συντελεστές
Στο (ιι) τι τιμές παίρνει το k;

chris · #12

i)Μηδενιζω τους συντελεστές για να φέρω ττην εξίσωση στη μορφή 0χ=0(άπειρες λύσεις).Φυσικά βγαίνει και με πολυώνυμα αλλά ειναι για Β Λυκείου.
ii)Το κ παίρνει ολες τις πραγματικές τιμές αφου και πάλι η εξίσωση θα είναι δευτεροβάθμια

mathxl · #13

Ωραία! Σίγουρα δεν θέλουμε εξήγηση από β΄λυκείου. Ίσως μια εξήγηση που βασίζεται σε γνώσεις γ΄γυμνασίου, είναι η εξής:
(Για να συνεχίσουμε την κουβεντούλα μας - τα λέω στην νύφη για να τα ακούσει η πεθερά).
Όσον αφορά το (ι), μια δευτέρου βαθμού μπορεί να έχει άπειρες λύσεις; Αν όχι τι βαθμού πρέπει να είναι η εξίσωση μας, ώστε να έχει άπειρες λύσεις; Αφού βρήκαμε τον βαθμό, τι μορφή πρέπει να έχει η εξίσωση (εναλλακτικά μπορόύμε να κάνουμε διερεύνηση);

#14

mathxl έγραψε:Έστω η εξίσωση $\displaystyle{\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - m} \right)x + k = 0}$ (με άγνωστο το x και m,k πραγματικούς αριθμούς)
Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών m,k ώστε:
ι. Η εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις
ιι. Η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού
ιιι. Η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου το -1 και να δέχεται ως λύση τον αριθμό 1.Έπειτα να λύσετε την εξίσωση

Να βάλω ένα ερώτημα ακόμα
iv.Να βρεθούν οι τιμές του m για τις οποίες η εξίσωση έχει μία λύση

Χρήστος

chris · #15

Πρέπει $D=0\Leftrightarrow (m-1)^{2}-4k(m-1)(m+1)=0\Leftrightarrow m=\frac{1+4k}{1-4k},k\neq \frac{1}{4},0$

Μάκης Χατζόπουλος · #16

xr.tsif έγραψε:
mathxl έγραψε:Έστω η εξίσωση $\displaystyle{\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - m} \right)x + k = 0}$ (με άγνωστο το x και m,k πραγματικούς αριθμούς)
Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών m,k ώστε:
ι. Η εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις
ιι. Η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού
ιιι. Η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου το -1 και να δέχεται ως λύση τον αριθμό 1.Έπειτα να λύσετε την εξίσωση
Να βάλω ένα ερώτημα ακόμα
iv.Να βρεθούν οι τιμές του m για τις οποίες η εξίσωση έχει μία λύση

Χρήστος

chris έγραψε:Πρέπει $D=0\Leftrightarrow (m-1)^{2}-4k(m-1)(m+1)=0\Leftrightarrow m=\frac{1+4k}{1-4k},k\neq \frac{1}{4},0$

Πολύ φοβάμαι ότι ο Χρήστος (Τσιφ) μία λύση και όχι μία διπλή,

άρα πρέπει να είναι πρώτου βαθμού, οπότε πρέπει m=1 ή m=-1, αλλά για να είναι πρώτου βαθμού πρέπει το 1-m να μην είναι μηδέν, άρα δεχόμαστε το m=-1 επομένως η εξίσωση γίνεται:

-2χ +κ =0 οπότε χ =κ/2 όπου κ ένας πραγματικός αριθμός...

ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση