ύπαρξη με ολοκληρώματα

#1

Έστω $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη με $\displaystyle{\int_0^1f(x)dx=\int_0^1xf(x)dx=0}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ με $f'(\xi)=0$ .

giannispapav · #2

Δείχνουμε ότι αν $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ είναι συνεχής με $\int\limits_0^1f(x)dx=\int\limits_0^1xf(x)dx=0$ , τότε η

έχει δύο διακεκριμένες ρίζες στο [0,1]

. Το ζητούμενο έπεται άμεσα με εφαρμογή του Θ.Rolle.

Θεωρούμε την παράγουσα $F(x)=\int\limits_0^xf(t)dt$ , $x\in [0,1]$ της

για την οποία έχουμε:

$\int\limits_0^1xf(x)dx=\int\limits_0^1xF'(x)dx=[xF(x)]_0^1-\int\limits_0^1F(x)dx=F(1)-\int\limits_0^1F(x)dx=0$ άρα

$\int\limits_0^1f(x)dx=\int\limits_0^1F(x)dx$ δηλαδή $\int\limits_0^1F(x)dx=0$ . Θεωρώντας μια παράγουσα της συνεχούς συνάρτησης

στο

και εφαρμόζοντας ΘΜΤ, βρίσκουμε $a\in (0,1)$ έτσι ώστε $F(a)=0\Leftrightarrow \int\limits_0^af(x)dx=0$ . Τότε

$\int\limits_0^1f(x)dx=\int\limits_0^af(x)dx+\int\limits_a^1f(x)dx\Leftrightarrow 0=0+\int\limits_a^1f(x)dx$ δηλαδή $\int\limits_a^1f(x)dx=0$ .

Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την

στα διαστήματα [0,a]

και

βρίσκουμε $0<\rho_1<a<\rho_2<1$ έτσι ώστε $f(\rho_1)=f(\rho_2)=0$ .

ύπαρξη με ολοκληρώματα

ύπαρξη με ολοκληρώματα

Re: ύπαρξη με ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση