Δίκαιη ανισότητα

KARKAR · #1

Δείξτε ότι : $\dfrac{\ln3}{\ln e}\cdot\dfrac{1-\ln2}{1+\ln2}<\dfrac{3}{e}\cdot \dfrac{\ln3-\ln2}{\ln3+\ln2}$

#2

Αρκεί να ισχύει η $\left(\dfrac{lnx}{x}\cdot \dfrac{lnx+ln2}{lnx-ln2}\right)'<0$ για x>e,

ισοδύναμη προς την

(lnx)^2 - (lnx)^3 - 2ln2(lnx) - (ln2)^2 + (ln2)^2(lnx) < 0,

που είναι σχεδόν προφανής για x>e.

abgd · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 23, 2024 10:54 am
Δείξτε ότι : $\dfrac{\ln3}{\ln e}\cdot\dfrac{1-\ln2}{1+\ln2}<\dfrac{3}{e}\cdot \dfrac{\ln3-\ln2}{\ln3+\ln2}$

Λίγο διαφορετικά από τη λύση του Γιώργου...

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\frac{lnx}{x}, \ \ x\geq e, \ \ g(x)=\frac{lnx-ln2}{lnx+ln2}, \ \ x \geq e$ είναι θετικές, η πρώτη γνησίως φθίνουσα και η δεύτερη γνησίως αύξουσα.

Το ζητούμενο έπεται άμεσα από τον πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων: $\displaystyle{f(3)<f(e), \ \ g(e)<g(3)$

KARKAR · #4

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{e^x}{x} , x>0$ , είναι κυρτή στο $(0 , +\infty)$ . Εφαρμόζουμε δύο φορές το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα

$[1 , \ln3]$ και : $[\ln(2e) , \ln6]$ . Από την κυρτότητα της

, προκύπτει - με ενδιαφέροντες αλγεβρικούς χειρισμούς

( οι οποίοι αφήνονται ως άσκηση ! ) - το ζητούμενο .

Δεν είναι ίσως η ενδεδειγμένη λύση , απλά ήθελα να αναφέρω , το πως δημιουργήθηκε το θέμα ...

Δίκαιη ανισότητα

Δίκαιη ανισότητα

Re: Δίκαιη ανισότητα

Re: Δίκαιη ανισότητα

Re: Δίκαιη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση