J651 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα J651 από τους Mathematical Reflections τεύχος 1 του 2024.
Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu. H ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να το προτείνω.

Έστω ABCD

τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο ώστε

$\left ( AB-BC+CD+DA \right ) \cdot \left ( BC+CD+DA-AB \right )+AC\cdot BD=$
$\left ( AB+AD \right )\left ( BC+CD \right ).$

Yπολογίστε τη $A\hat{D}C.$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2024 6:22 pm
Σας προτείνω το θέμα J651 από τους Mathematical Reflections τεύχος 1 του 2024.
Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu. H ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να το προτείνω.

Έστω τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο ώστε

$\left ( AB-BC+CD+DA \right ) \cdot \left ( BC+CD+DA-AB \right )+AC\cdot BD=$
$\left ( AB+AD \right )\left ( BC+CD \right ).$

Yπολογίστε τη $A\hat{D}C.$

Λόγω του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι $\displaystyle AC \cdot BD = AB \cdot DC + AD \cdot BC.$ Το αντικαθιστώ στη δοθείσα

σχέση και μετά τις πράξεις καταλήγω στην $\boxed{A{D^2} + C{D^2} + AD \cdot CD = A{B^2} + B{C^2} - AB \cdot BC}$ (1)

Αν $\displaystyle A\widehat DC = x \Leftrightarrow A\widehat BC = 180^\circ - x$ και με νόμο συνημιτόνου στα ADC, ABC

είναι:

$\displaystyle A{D^2} + C{D^2} - 2AD \cdot CD\cos x = A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2AB \cdot BC\cos x$

Εύκολα τώρα από την (1)

προκύπτει ότι $\displaystyle \cos x = - \frac{1}{2},$ άρα $\boxed{A\widehat DC=x=120^\circ}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Γιώργο, σε ευχαριστώ για τη λύση...

J651 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

J651 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J651 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J651 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση