Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων

sakis1963 · #1

: 2024.02.18.FB1419x mathematica.jpg (46.7 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

με $\hat{A}=60^\circ$ .

Ας είναι I, O

το έγκεντρο και το περίκεντρό του αντίστοιχα, και M, N

τα μέσα των AB, AC

.

a. Αν $D=OM\cap{BI}$ και $E=ON\cap{CI}$ , δείξτε ότι τα A, D, E

είναι συνευθειακά.

b. Αν η $F=AD\cap{BC}$ και (BF, FC)=(m, n)

, δείξτε ότι $\dfrac{a+b}{a+c}=\dfrac{m}{n}$

c. Αν η

τέμνει τον περίκυκλο του ABC

, στο

, δείξτε ότι $FG²=FE\cdot FD$

Dimessi · #2

Απλά την επαναφέρω στο φως.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2024 12:39 pm
2024.02.18.FB1419x mathematica.jpg
Έστω τρίγωνο με $\hat{A}=60^\circ$ .

Ας είναι το έγκεντρο και το περίκεντρό του αντίστοιχα, και τα μέσα των .

a. Αν $D=OM\cap{BI}$ και $E=ON\cap{CI}$ , δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά.

b. Αν η $F=AD\cap{BC}$ και , δείξτε ότι $\dfrac{a+b}{a+c}=\dfrac{m}{n}$

c. Αν η τέμνει τον περίκυκλο του , στο , δείξτε ότι $FG²=FE\cdot FD$

A)Λόγω του εγγράψιμμου AMON

θα είναι $\angle DOE=60^0$ και $\angle NEA=90^0- \dfrac{C}{2}$

Επομένως $\angle EDO=180^0-(60^0+90^0- \dfrac{C}{2})= 30^0+ \dfrac{C}{2}$ .

Ακόμη $\angle ADM=90^0- \dfrac{B}{2}=90^0-(60^0- \dfrac{C}{2})=30^0+ \dfrac{C}{2}= \angle DOE$ συνεπώς A,D,E

συνευθειακά

B)Η

τέμνει την

στο

και το τρίγωνο ABQ

προφανώς είναι ισόπλευρο

Από θ.διχοτόμου στο $\triangle ABC \Rightarrow AK= \dfrac{bc}{a+c} \Rightarrow KQ=c-AK= \dfrac{c(c+a-b)}{a+c}$ .Άρα $\dfrac{AK}{KQ}= \dfrac{b}{a+c-b}$

Με θ.Μεναλάου στο τρίγωνο BCQ

με διατέμνουσα APF

έχουμε $\dfrac{n}{m}. \dfrac{BP}{PQ}. \dfrac{AQ}{AC}=1 \Rightarrow \dfrac{m}{n}=\dfrac{BP}{PQ}. \dfrac{c}{b}$

Ο CEVA στο ισόπλευρο τρίγωνο

δίνει $\dfrac{AM}{MB}. \dfrac{BP}{PQ}. \dfrac{QK}{KA}=1 \Rightarrow \dfrac{BP}{PQ}= \dfrac{AK}{KQ}= \dfrac{b}{a+c-b}$

Έτσι $\dfrac{m}{n}= \dfrac{c}{b} \dfrac{BP}{PQ}= \dfrac{c}{b}. \dfrac{AK}{KQ}= \dfrac{c}{a+c-b}$ και μένει να αποδείξουμε ότι

$\dfrac{c}{a+c-b}= \dfrac{a+b}{a+c} \Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc$

Η τελευταία όμως είναι αληθής από ν.συνημιτόνου στο $\triangle ABC$

Γ) Είναι $\angle BDE= \angle \dfrac{B}{2} + \dfrac{B}{2} =\angle B = \angle DGC \Rightarrow BD//GC \Rightarrow \dfrac{FD^2}{FG^2}= \dfrac{m^2}{n^2} (1)$

Επειδή όμως $\angle DBC= \angle BAD= \angle \dfrac{B}{2}$ και $\angle ECB= \angle EAC= \angle \dfrac{C}{2}$ τα m,n

είναι

εφαπτόμενα τμήματα των κύκλων (A,D,B),(A,E,C)

αντίστοιχα

Άρα m^2=FD.FA

και

οπότε $\dfrac{m^2}{n^2}= \dfrac{FD}{FE}$ κι από την $(1) \Rightarrow \dfrac{FD}{FE}= \dfrac{FD^2}{FG^2} \Rightarrow FG^2=FD.FE$

: συνευειακότητα και λόγοι τμημάτων.png (64.78 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων

Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων

Re: Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων

Re: Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση