Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2024.

1. Ο Άρης έχει μια συλλογή από διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε, διαλέγοντας μερικά από αυτά, να σχηματίσει κάποιο τετραγωνισμένο τετράγωνο εμβαδού μεγαλύτερου του ; (Ο. Ποντλίνσκϊι)

2. Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται η παραβολή . Για ένα δοθέντα αριθμό εξετάζουμε τραπέζια, εγγεγραμμένα σε αυτήν την παραβολή (δηλαδή όλες οι κορυφές του τραπεζίου βρίσκονται πάνω στην παραβολή), για τα οποία οι βάσεις είναι παράλληλες προς τον άξονα των τετμημένων και το γινόμενο των μηκών των βάσεων είναι ίσο με . Να αποδείξετε, ότι όλες οι διαγώνιες τέτοιων τραπέζιων διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Ν. Αγκαχάνοβ)

3. Σε ένα νησί κατοικούν ιππότες, οι οποίοι πάντα λένε την αλήθεια και αυλικοί, οι οποίοι πάντα λένε ψέματα. Σε παιχνίδι επιτραπέζιας αντισφαίρισης όλους τους κατοίκους του νησιού αρχικά τους χώρισαν σε δυο ομάδες, και , εξάλλου στην ομάδα υπήρχαν περισσότεροι κάτοικοι, από ότι στην ομάδα . Άρχισαν το παιχνίδι δυο παίχτες διαφορετικών ομάδων, μετά από κάθε σετ ο χαμένος εξέρχεται από το παιχνίδι για πάντα και τον αντικαθιστά άλλο μέλος της ομάδας του (που δεν έχει παίξει ακόμα). Έχασε η ομάδα όλα τα μέλη της οποίας εξήλθαν από το παιχνίδι. Μετά το παιχνίδι κάθε μέλος της ομάδας τον ρώτησαν: «Αληθεύει, ότι σε κάποιο σετ έχασες από αυλικό;» και κάθε μέλος της ομάδας τον ρώτησαν: «Αληθεύει, ότι εσύ κέρδισες τουλάχιστον δυο ιππότες;». Όλες οι απαντήσεις ήταν καταφατικές. Ποια ομάδα κέρδισε η ή η ; (Μ. Ντίντιν)

4. Σε μια σειρά με κάποια διάταξη είναι γραμμένοι από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το έως το . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε μερικούς διαδοχικούς στη σειρά γραμμένους αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι μεγαλύτερο από , αλλά δεν υπερβαίνει το . (Σ. Μπέρλοβ)

5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο . Στην προέκταση των παράπλευρων πλευρών , προς το σημείο δίνονται δυο σημεία και αντίστοιχα και στην βάση σημείο , εξάλλου και . Να αποδείξετε, ότι . (Α. Κουζνέτσοβ)

[Mihalis_Lambrou]

2. Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται η παραβολή . Για ένα δοθέντα αριθμό εξετάζουμε τραπέζια, εγγεγραμμένα σε αυτήν την παραβολή (δηλαδή όλες οι κορυφές του τραπεζίου βρίσκονται πάνω στην παραβολή), για τα οποία οι βάσεις είναι παράλληλες προς τον άξονα των τετμημένων και το γινόμενο των μηκών των βάσεων είναι ίσο με . Να αποδείξετε, ότι όλες οι διαγώνιες τέτοιων τραπέζιων διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Ν. Αγκαχάνοβ)

Αφού οι βάσεις του τραπεζίου είναι παράλληλες προς τον άξονα των , δηλαδή είναι της μορφής για κάποιο , έπεται ότι οι κορυφές του είναι της μορφής . Tα μήκη των βάσεων είναι , οπότε έχουμε εξ υποθέσεως ότι .

H μία διαγώνιος (όμοια η άλλη, η οποία άλλωστε είναι συμμετρική της) έχει κλίση . Άρα έχει εξίσωση

.

Θέτοντας βλέπουμε ότι τέμνει τον άξονα των στο . Από την αυτό είναι σταθερό σημείο, το , που ολοκληρώνει την λύση.

(Μάλλον τους ξέφυγε ως θέμα. Για την ποιότητα του εν λόγω διαγωνισμού, μια άσκηση ρουτίνας είναι αστοχία).

[Mihalis_Lambrou]

4. Σε μια σειρά με κάποια διάταξη είναι γραμμένοι από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το έως το . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε μερικούς διαδοχικούς στη σειρά γραμμένους αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι μεγαλύτερο από , αλλά δεν υπερβαίνει το . (Σ. Μπέρλοβ)

ΕΛΥΣΑ ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΑΠΟ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΗΣ. ΔΕΙΤΕ ΤΟ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΟΣΤ. ΤΟ ΑΦΗΝΩ ΓΙΑ ΝΑ ΜΗΝ ΑΙΩΡΕΙΤΑΙ ΤΟ ΣΧΟΛΙΟ ΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ, ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ.

Αντί να γράφω μόνο την απάντηση, θα γράψω και την σκέψη: Έχουμε .

Άρα οι διαδοχικοί αριθμοί (με μεσαίο τον ) έχουν προφανώς άθροισμα . Διώχνουμε τώρα τον πρώτο, τον , οπότε αυτό που μένει έχει τις ζητούμενες ιδιότητες.

[Al.Koutsouridis]

4. Σε μια σειρά με κάποια διάταξη είναι γραμμένοι από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το έως το . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε μερικούς διαδοχικούς στη σειρά γραμμένους αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι μεγαλύτερο από , αλλά δεν υπερβαίνει το . (Σ. Μπέρλοβ)

Αντί να γράφω μόνο την απάντηση, θα γράψω και την σκέψη: Έχουμε .

Άρα οι διαδοχικοί αριθμοί (με μεσαίο τον ) έχουν προφανώς άθροισμα . Διώχνουμε τώρα τον πρώτο, τον , οπότε αυτό που μένει έχει τις ζητούμενες ιδιότητες.

Καλησπέρα κ. Μιχάλη! Το πρόβλημα ζητάει, ότι για οποιαδήποτε διάταξη αυτών των αριθμών, θα βρεθούν κάποιοι διαδοχικοί στην σειρά, δεδομένη διάταξη αριθμοί (όχι απαραίτητα διαδοχικές τιμές), που θα έχουν την συγκεκριμένη ιδιότητα.

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα κ. Μιχάλη! Το πρόβλημα ζητάει, ότι για οποιαδήποτε διάταξη αυτών των αριθμών, θα βρεθούν κάποιοι διαδοχικοί στην σειρά, δεδομένη διάταξη αριθμοί (όχι απαραίτητα διαδοχικές τιμές), που θα έχουν την συγκεκριμένη ιδιότητα.

Αλέξανδρε, ωωωωω. Σωστά. Δεν διάβασα με ακρίβεια την άσκηση.

[Al.Koutsouridis]

(Μάλλον τους ξέφυγε ως θέμα. Για την ποιότητα του εν λόγω διαγωνισμού, μια άσκηση ρουτίνας είναι αστοχία).

Δεν είμαι σίγουρος αν ξέφυγε, γιατί τα τελευταία χρόνια τα θέματα είναι πιο εύκολα, ειδικά όταν έγιναν από τέσσερα, πέντε για αυτήν την φάση (αντίστοιχος Ευκλείδης σε μας) και όταν άρχισαν να εξετάζονται όλοι στα ίδια θέματα σε όλη την Ρωσία. Τα πρώτα δυο θέματα σε αυτή την φάση και το πρώτο και δεύτερο στην τελική φάση της πανρωσικής (αντίστοιχος Αρχιμήδης) είναι σχετικά εύκολα, αν τα συγκρίνει κανείς με το παρελθόν. Βέβαια έχουν παρατηρηθεί και φαινόμενα ακόμη και μέλη της υποψήφιας ομάδας για διεθνείς ολυμπιάδες να μην έχουν λύσει τα «χαζά», όπως τα αποκαλούν προβλήματα.

Προσωπική αίσθηση, εντύπωση γιατί θέματα είναι πιο εύκολα από το παρελθόν.

Πρώτων δεν είναι κύρια ολυμπιάδα επιλογής πλέον για την εθνική ομάδα η τελική φάση της πανρωσικής. Παρακάτω θα αναφέρω λίγο πιο αναλυτικά το πως γίνεται αυτό τα τελευταία χρόνια, νομίζω έχει ενδιαφέρον.

Δεύτερον έχει πέσει το ενδιαφέρον σε σχέση με το παρελθόν, αλλά και το επίπεδο της μαθηματικής παιδείας γενικότερα.

Τρίτον κάποια «γραφειοκρατικά»: η τρίτη φάση και η τελική τέταρτη (οι νικητές) δίνουν μόρια για την εισαγωγή στα πανεπιστήμια, αντίστοιχα πρέπει και η ύλη να είναι βασισμένη καθαρά στην σχολική. Ένας από τους λόγους που μεταφράζω αυτά τα θέματα είναι αυτός, υπάρχει ο βαθμός σιγουριάς, ότι δεν χρειάζεται τίποτα εξειδικευμένο για να τα λύσει κανείς (αν εξαιρέσουμε κάποια θέματα, όπως μαθηματική επαγωγή, κτλ.) . Όπως για παράδειγμα ένα θέμα Θαλή/Ευκλείδη. Έτσι θεωρώ είναι καλά για έναρξη ενασχόλησης με ολυμπιακά προβλήματα. Ένας από τους λόγους που υπάρχει για παράδειγμα θέμα στερεομετρίας στην Πανρωσική ολυμπιάδα είναι ότι η στερεομετρία είναι στην σχολική ύλη, οπότε πρέπει να εξετάζεται κι αυτή, παρότι δεν εξετάζεται στην διεθνή ολυμπιάδα. Επίσης ανάλογα με τα αποτελέσματα στην πανρωσική υπάρχει και ένα rating των κατά τόπους δάσκαλων σε ομίλους, σχολεία, χρηματικά έπαθλα κτλ.


Όσο αναφορά το πρώτο παραπάνω για την διαδικασία επιλογής της ομάδας , η διαδικασία τα τελευταία χρόνια είναι η παρακάτω:

Κατά την πανρωσική της προηγούμενης χρονιάς επιλέγονται δυο ομάδες των 20 περίπου παιδιών κάθε τάξης 9ης και 10ης (η 11η τάξη είναι τελειόφοιτοι). Οι μαθητές αυτοί, καθ’ όλη την επόμενη σχολική χρονιά συμμετέχουν σε μίνι σχολεία, ας τις πούμε δοκιμασίες, διάρκειας 2-3 εβδομάδων αρχίζοντας από το καλοκαίρι.

Στα σχολεία αυτά τρέχουν παράλληλα 8 συνήθως μαθήματα (μαθηματικές ενότητες) π.χ. άλγεβρα, συνδυαστική, συνδυαστική γεωμετρία, θεωρία αριθμών κτλ. Κάθε μαθητής διαλέγει σε ποιο μάθημα θα συμμετάσχει (αυτό κυρίως στις δυο πρώτες δοκιμασίες). Συνήθως διαλέγουν σε αυτό που δεν είναι καλοί. Υπάρχει φθινοπωρινή δοκιμασία, τέλη Οκτώβρη, χειμερινή αρχές Ιανουαρίου, τέλη Φεβρουαρίου και εαρινή τον Μάϊο μια βδομάδα μετά την πανρωσική. Κάθε τέτοια δοκιμασία περιέχει και μια ολυμπιάδα, διήμερη σε στιλ διεθνής ολυμπιάδας (αντίστοιχος προκριματικός). Επίσης τα παιδιά συμμετέχουν στην ολυμπιάδα της Κίνας και το Romanian Μasters. Όλες οι παραπάνω ολυμπιάδες και η πανρωσική βγάζουν την τελική ομάδα για την διεθνή ολυμπιάδα. Το πως ακριβώς κοινοποιείται στους μαθητές το καλοκαίρι, Σεπτέμβρη. Η πανρωσική στην ουσία συμμετέχει εδώ, επειδή το αντίστοιχο υπουργείο έχει τυπικά ως μόνη ολυμπιάδα επιλογής την πανρωσική. Η δοκιμασίες αυτές μπορεί να διεξάγονται στο κέντρο «Σείριος», στην Α. Πετρούπολη και σε άλλες πόλεις.

Στο ενδιάμεσο εξ αποστάσεως ανάλογα με τις δυνατότητες του μαθητή και αφού έχει εντοπιστεί σε τι είναι καλός και σε τι υστερεί, του παραδίδονται ασκήσεις προς λύση και αποστολή. Η αντίστοιχη επιτροπή των διαγωνισμών, απαντάει με σχόλια, άλλα προβλήματα κτλ.

Τα προβλήματα δίνονται ενίοτε σε ομάδες δυσκολίας ανάλογα σε ποιο θέμα ένας μαθητής δεν είναι καλός. Συνήθως είναι δυσκολίας πρώτο ή δεύτερο θέμα Δ.Μ.Ο. ή σε ομάδα πολύ δύσκολων προβλημάτων που δεν λύνονται σε 2 ώρες (μπορεί να χρειαστεί 10-12 ώρες ενασχόλησης).

Καλό θα ήταν να δούμε πως ετοιμάζονται και ομάδες άλλων χωρών, αν έχει κάποιος πληροφορίες θα μπορούσε να τις μοιραστεί.

[KARKAR]

RUS-5.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 1458 φορές

Για το πρόβλημα , έκανα σχήμα και το δημοσιεύω αφού δεν βρήκα κάποια λύση . Φαίνεται πάντως

να είναι ένα πανέμορφο θέμα

[silouan]

Καλό θα ήταν να δούμε πως ετοιμάζονται και ομάδες άλλων χωρών, αν έχει κάποιος πληροφορίες θα μπορούσε να τις μοιραστεί.

Αλέξανδρε, ευχαριστούμε πολύ για τις πληροφορίες. Αντίστοιχη είναι και η επιλογή της ομάδας στην Αμερική. Ουσιαστικά οι 20 διαλέγονται από την ολυμπιάδα της χρονιάς Χ και ο τελευταίος διαγωνισμός επιλογής είναι η Ολυμπιάδα της χρονιάς Χ+1, όπου συγκροτείται η ομάδα για την Ολυμπιάδα της χρονιάς Χ+1.

Για το δεύτερο θέμα, καταλαβαίνω αυτό που λέει ο κ. Μιχάλης για την δυσκολία. Από την άλλη πλευρά, αυτό που μένει αναλλοίωτο είναι η ομορφιά των εκφωνήσεων των προβλημάτων. Δηλαδή, ακόμη και αυτό το εύκολο πρόβλημα έχει ένα πολύ όμορφο συμπέρασμα.

[abfx]

1. Ο Άρης έχει μια συλλογή από διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε, διαλέγοντας μερικά από αυτά, να σχηματίσει κάποιο τετραγωνισμένο τετράγωνο εμβαδού μεγαλύτερου του ; (Ο. Ποντλίνσκϊι)

Απάντηση: Δεν μπορεί.
Έστω (προς άτοπο) ότι υπάρχει τέτοια ζητούμενη συλλογή. 'Έστω ότι το μέγιστο(υ εμβαδού) ορθογώνιο που χρησιμοποίησε

έχει διαστάσεις , όπου . Τότε, το μεγάλο τετράγωνο έχει πλευρά τουλάχιστον .

Άρα, το εμβαδό του θα είναι .

Από την άλλη, ισχύει

αφού η συλλογή δεν περιέχει ορθογώνιο εμβαδού πάνω από .

Από έχουμε , άτοπο.