Παρά τρίχα ίσα

#1

: Συγκρίσιμα εμβαδά.png (24.89 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

Δύο κύκλοι (O,5), (K,7)

εφάπτονται εξωτερικά στο

και έστω

ο βόρειος και

ο νότιος πόλος του κύκλου (O).

Οι

τέμνουν τον κύκλο (K)

στα

αντίστοιχα. Επιλέγουμε το σημείο

του κύκλου (K)

ώστε

και το σημείο

του ίδιου κύκλου, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου NET

να είναι το μέγιστο δυνατόν. Να βρείτε το λόγο

$\displaystyle \frac{{(NET)}}{{(SHP)}}$ και να δικαιολογήσετε τον τίτλο.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω $\Phi$ το μέσον του

, $\Lambda$ η προβολή του

στην

και $\varphi=\angle TKH$ .
Έχουμε $\cos\varphi=\frac{5}{7}$ και $\angle KHP=\frac{\varphi}{2}$ .

Το (NTE)

γίνεται μέγιστο όταν το

είναι σημείο της μεσοκαθέτου της χορδής

προς το μέρος του

.

Είναι $\angle\Phi ET=22.5^o\Rightarrow \Phi E=\Phi T\cdot\cot\frac{\pi}{8}=\frac{7\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{2})$ και $(NET)=\frac{1}{2}NT\cdot \Phi E=\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot\frac{7\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{2})=42\cdot(1+\sqrt{2})\approx {\color{red}101.39}{\color{blue}69}$ .

Επίσης $PH=2\cdot 7\cdot \cos\frac{\varphi}{2}=14\sqrt{\frac{6}{7}}$ και $SH=S\Lambda+\Lambda H=(5+7)+7\sin\varphi=12+2\sqrt{6}$ οπότε $(SPH)=\frac{1}{2}SP\cdot SH\cdot\sin45^o=12(6+\sqrt{6})\approx{\color{red}101.39}{\color{blue}38}$ .

Ο ζητούμενος λόγος είναι $\frac{(NET)}{(SPH)}\approx1.0000305$ , οπότε πράγματι τα (NET),(SPH)

είναι... παρά τρίχα ίσα!

Παρά τρίχα ίσα

Παρά τρίχα ίσα

Re: Παρά τρίχα ίσα

Μέλη σε σύνδεση