Καλή πρόοδο

#1

: Καλή πρόοδο 1.png (13.26 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Οι πλευρές c, b, a

τριγώνου

είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. Η διάμεσος

και το

ύψος

τέμνονται στο

Αν η διαφορά (SBM)-(SAD)

είναι ίση αριθμητικά με το μήκος του ύψους BD,

α) να βρείτε τη διαφορά της προόδου ...... β) Αν επιπλέον BD=12,

να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

KARKAR · #2

: Λόγος.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

Αυτό είναι το τρίγωνο του Γιώργου αλλά βρέθηκε ύπουλα , μιας και το συναντάμε
σε πολλές εφαρμογές . Ελπίζω να μην σταθεί εμπόδιο σε μια πραγματική λύση

abgd · #3

Έστω $\displaystyle {\omega >0}$ η διαφορά της προόδου θα είναι $\displaystyle{c=b-\omega, a=b+\omega}$ .

Εφόσον η γωνία $\displaystyle{A}$ είναι οξεία, θα πρέπει $\displaystyle{(b+\omega)^2<(b-\omega)^2+b^2 \Leftrightarrow b>4\omega}$

Η ημιπερίμετρος του τριγώνου είναι $\displaystyle{\tau=\frac{3b}{2}$ και το ύψος του $\displaystyle{BD}$ είναι

$\displaystyle{BD=\frac{2}{b}\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)}}=...=\sqrt{3}\sqrt{\frac{b^2}{4}-\omega^2}}$

Έτσι θα είναι:

$\displaystyle{AD=\sqrt{AC^2-BD^2}=...= |\frac{b}{2}-2\omega|}=\frac{b}{2}-2\omega}$ , αφού $\displaystyle{b>4\omega}$ και $\displaystyle{DC=\frac{b}{2}+2\omega$ .

Ακόμη έχουμε $\displaystyle{(SBM)=(BDC)-(SMCD)}$ και $\displaystyle{(SAD)=(AMC)-(SMCD)}$

Αφαιρώντας κατά μέλη $\displaystyle{(SBM)-(SAD)=(BDC)-(AMC)=(BDC)-\frac{1}{2}(ABC)}$

Άρα $\displaystyle{BD=\frac{BD\cdot DC}{2}-\frac{BD\cdot AC}{4} \Rightarrow 2DC-AC=4 \Rightarrow ... \boxed{\omega=1}}$

Αν $\displaystyle{BD=12}$ , τότε $\displaystyle{12=\sqrt{3}\sqrt{\frac{b^2}{4}-1}\Rightarrow \boxed{b=14.....{a=15, c=13}}$

Καλή πρόοδο

Καλή πρόοδο

Re: Καλή πρόοδο

Re: Καλή πρόοδο

Μέλη σε σύνδεση