σκληρό ολοκλήρωμα

Δημοσθένης1043 · #1

Δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(\tan(\tan(x)))\tan(x)dx=\frac{\pi}{e^{( e^2-1)/(e^2+1)}}-\frac{\pi}{e}}$

#2

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 8:30 pm
Δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(\tan(\tan(x)))\tan(x)dx=\frac{\pi}{e^{( e^2-1)/(e^2+1)}}-\frac{\pi}{e}}$

Πολύ θα ήθελα να έβλεπα απόδειξη αυτού του τύπου γιατί όπως το αντιλαμβάνομαι, αυτό το ολοκλήρωμα δεν έχει νόημα. Συγκεκριμένα, επειδή η $\tan x$ στο $(-\pi/2, \, \pi/2)$ είναι 1-1 και επί του $\mathbb R$ , σημαίνει ότι για κάθε $k\in \mathbb N$ , υπάρχει μοναδικό $x_k\in (-\pi/2, \, \pi/2)$ τέτοιο ώστε

$\tan x_k = k\pi + \dfrac {\pi}{2}$

Για αυτά τα x_k

, η παράσταση $\sin(\tan(\tan(x)))$ μέσα στο ολοκλήρωμα έχει την μορφή, λέμε τώρα,

$\displaystyle{\sin(\tan(\tan(x_k))) = \sin \left (\tan\left ( k\pi + \dfrac {\pi}{2}\right ) \right )= \sin \left (\tan\left (\dfrac {\pi}{2}\right )\right ) }$ που δεν έχει νόημα.

Με άλλα λόγια έχουμε να ολοκληρώσουμε (εννοείται κατά Riemann) μία συνάρτηση η οποία δεν έχει νόημα σε άπειρα σημεία του διαστήματος ολοκλήρωσης. Τέτοιο ολοκλήρωμα δεν έχω δει πουθενά να ορίζεται. Kάνω λάθος; Ας μας διευκρινίσει ο θεματοθέτης.

Δημοσθένης1043 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2023 12:35 am

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 8:30 pm
Δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(\tan(\tan(x)))\tan(x)dx=\frac{\pi}{e^{( e^2-1)/(e^2+1)}}-\frac{\pi}{e}}$
Πολύ θα ήθελα να έβλεπα απόδειξη αυτού του τύπου γιατί όπως το αντιλαμβάνομαι, αυτό το ολοκλήρωμα δεν έχει νόημα. Συγκεκριμένα, επειδή η $\tan x$ στο $(-\pi/2, \, \pi/2)$ είναι 1-1 και επί του $\mathbb R$ , σημαίνει ότι για κάθε $k\in \mathbb N$ , υπάρχει μοναδικό $x_k\in (-\pi/2, \, \pi/2)$ τέτοιο ώστε

$\tan x_k = 2k\pi + \dfrac {\pi}{2}$

Για αυτά τα , η παράσταση $\sin(\tan(\tan(x)))$ μέσα στο ολοκλήρωμα έχει την μορφή, λέμε τώρα,

$\displaystyle{\sin(\tan(\tan(x_k))) = \sin \left (\tan\left ( 2k\pi + \dfrac {\pi}{2}\right ) \right )= \sin \left (\tan\left (\dfrac {\pi}{2}\right )\right ) }$ που δεν έχει νόημα.

Με άλλα λόγια έχουμε να ολοκληρώσουμε (εννοείται κατά Riemann) μία συνάρτηση η οποία δεν έχει νόημα σε άπειρα σημεία του διαστήματος ολοκλήρωσης. Τέτοιο ολοκλήρωμα δεν έχω δει πουθενά να ορίζεται. Kάνω λάθος; Ας μας διευκρινίσει ο θεματοθέτης.

Και ένα γλωσσικό σχόλιο. Προφανώς η φράση "σκληρό ολοκλήρωμα" του τίτλου είναι αδόκιμη μετάφραση του αγγλικού όρου "hard integral". Όμως η λέξη hard έχει διάφορα νοήματα. Π.χ.

α) Το αντίθετο του easy (εύκολο), οπότε σημαίνει "δύσκολο".
β) Το αντίθετο του soft (μαλακό), οπότε σημαίνει "σκληρό".

Στον τίτλο μεταφράστηκε (από το Google, άραγε) ως "σκληρό" αντί του ορθού "δύσκολο" ολοκλήρωμα.

για $\alpha \ge 0$

$\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\alpha^{2}+x^{2}} \, \left(f(e^{ix})-f(e^{-ix}) \right) \, \mathrm dx = 2i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\alpha^{2}+x^{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, \sin(nx) \, \mathrm dx }$

$\displaystyle{ = 2i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\alpha^{2}+x^{2}} \sum_{n=\color{red}{1}}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, \sin(nx) \, \mathrm dx }$

$\displaystyle{ = 2i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\alpha^{2}+x^{2}} \, \sin(nx) \, \mathrm dx }$

$\displaystyle{ = 2\pi i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, e^{-\alpha n} }$

$\displaystyle{ = 2\pi i \left( f(e^{-\alpha})-f(0) \right). }$

Υποθέτοντας ότι

$\displaystyle{f(z) = \exp \left(\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1} \right)}$

$\displaystyle{ I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin \left(\tan(\tan x)\right)\tan(x) \, \mathrm dx }$

$\displaystyle{ = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u}{1+u^{2}} \, \sin \left(\tan u \right) \, \mathrm du }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2i} \int_{0}^{\infty}\frac{u}{1+u^{2}} \, \left(\exp \left(\frac{e^{2iu}-1}{e^{2iu}+1} \right) - \exp \left(\frac{e^{-2iu}-1}{e^{-2iu}+1} \right) \right) \, \mathrm du }$

$\displaystyle{ = \pi \left(\exp \left(\frac{e^{-2}-1}{e^{-2}+1} \right) - \frac{1}{e} \right) }$

$\displaystyle{ = \pi \left(\exp \left(- \frac{e^{2}-1}{e^{2}+1} \right)-\frac{1}{e} \right) }$

#4

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2023 8:12 am

$\displaystyle{ = \frac{1}{2i} \int_{0}^{\infty}\frac{u}{1+u^{2}} \, \left(\exp \left(\frac{e^{2iu}-1}{e^{2iu}+1} \right) - \exp \left(\frac{e^{-2iu}-1}{e^{-2iu}+1} \right) \right) \, \mathrm du }$

Ευχαριστώ για την λύση αλλά νομίζω ότι έχει κάποιο πρόβλημα. Όπως σημείωσα στο προηγούμενο ποστ (και δεν έλαβα απάντηση) πρέπει να ξεκαθαρίσουμε πώς ορίζεται ένα ολοκλήρωμα που απειρίζεται άπειρες φορές ατο πεδίο ορισμού του. Για παράδειγμα στο ολοκλήρωμα που γράφεις παραπάνω θα παρατηρήσεις ότι ο παρονομαστής στον όρο

$\dfrac{e^{2iu}-1}{e^{2iu}+1}$

που εμφανίζεται, είναι

άπειρες φορές, συγκεκριμένα στα $u=k\pi + \frac {\pi}{2}$ .

Πάμε όμως παρακάτω. Αν ορίσουμε το $\int _a^b f(x) dx$ για μία $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ η οποία απειρίζεται στα x_1<x_2<x_3<...

ως

$\displaystyle{\sum _{k=0}^{\infty} \int _{x_k} ^{x_{k+1}} f(x) dx, \, \, (*)}$ (με x_0=a

)

μπορούμε να συνεχίσουμε αλλά εδώ έχουμε έναν διαφορετικό (ευρύτερο από τον συνηθισμένο) ορισμό του καταχρηστικού ολοκληρώματος. Υπόψη ότι ο κάθε προσθετέος είναι από μόνος του καταχρηστικό ολοκλήρωμα.

Με αυτά ως δεδομένα έχω απλούστερη λύση της αρχικής άσκησης. Την λύση μου αυτή την γνώριζα όταν στο προηγούμενό μου ποστ έθεσα το ερώτημα για τέτοια ολοκληρλωματα, αλλά ήθελα να σε ρωτήσω πρώτα τον ορισμό γιατί μπαίνει στην ουσία. Η λύση σου είναι φαρμαλιστικά σωστή, αλλά λείπουν κέραια σημεία. Την χάρηκα, πάντως.

Για την πιο απλή λύση που έχω κατά νου είναι να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $\tan x=y$ σε καθένα από τα ολοκληρώματα της (*)

. Θα γίνουν

$\displaystyle{ \int _{k\pi + \frac {\pi}{2}} ^{(k+1)\pi + \frac {\pi}{2}} \dfrac {y}{1+y^2} \sin (\tan y) dy}$

και συνεχίζουμε από εκεί. Έχει βέβαια δουλειά ακόμα, αλλά προχωράει. Το αφήνω.

(Μόνο προσθέτω ότι επειδή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι άρτια, αρκεί να βρούμε μόνο το ολοκλήρωμα από

εως $\frac {\pi}{2}$ . Γλιτώνουμε έτσι κάποιες λεπτομέρειες).

#5

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 8:30 pm
Δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(\tan(\tan(x)))\tan(x)dx=\frac{\pi}{e^{( e^2-1)/(e^2+1)}}-\frac{\pi}{e}}$

Δημοσθένη, μπορείς σε παρακαλώ να μας πεις από πού είναι αυτή η άσκηση και από πού είναι η λύση;

Το ρωτάω γιατί το ολοκλήρωμα είναι προβληματικό (απειρίζεται άπειρες φορές η συνάρτηση), οπότε θα ήθελα να δω πως παρακάμπτουν τα προβλήματα.

ΤRANSLATION
Demosthenes, could you please tell us from where is this problem and its solution taken from?

I am asking because the integral is problematic (the function takes the value infinity an infinite number of times), so I would like to see how they bypass the difficulties.

Δημοσθένης1043 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 11:00 am

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 19, 2023 8:30 pm
Δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(\tan(\tan(x)))\tan(x)dx=\frac{\pi}{e^{( e^2-1)/(e^2+1)}}-\frac{\pi}{e}}$
Δημοσθένη, μπορείς σε παρακαλώ να μας πεις από πού είναι αυτή η άσκηση και από πού είναι η λύση;

Το ρωτάω γιατί το ολοκλήρωμα είναι προβληματικό (απειρίζεται άπειρες φορές η συνάρτηση), οπότε θα ήθελα να δω πως παρακάμπτουν τα προβλήματα.

ΤRANSLATION
Demosthenes, could you please tell us from where is this problem and its solution taken from?

I am asking because the integral is problematic (the function takes the value infinity an infinite number of times), so I would like to see how they bypass the difficulties.

Ο φίλος μου το ανέβασε στο Math Stack Exchange και πήρε την απάντηση.

#7

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 1:54 pm
Ο φίλος μου το ανέβασε στο Math Stack Exchange και πήρε την απάντηση.

H απάντησή σου είναι πολύ ασαφής. Έχεις την καλοσύνη να μας πεις με μεγαλύτερη ακρίβεια τα στοιχεία; To Math Stack Exchange είναι πολύ μεγάλο για να ψάξουμε χωρίς κανένα στοιχείο.

TRANSLATION.
Your answer is too vague. Are you kind enough to be more specific? Math Stack Exchange is too large to search without a clue.

#8

Να που επιβεβαιώνομαι.

Στο λινκ εδώ θα βρούμε ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια λύση στο Stack Exchange, γραμμένη από κάποιον άλλο, πάντως όχι τον Δημοσθένη1043. Ακόμη και το τυπογραφικό σφάλμα στην δεύτερη γραμμή της λύσης, που στο Stack Exchange διορθώθηκε με κόκκινο μελάνι, ήλθε με κόκκινο και στο mathematica. Τι σύμπτωση!

Όλα αυτά με ξενίζουν.

Από την αρχή μου φαινόταν περίεργο ότι άτομα χωρίς την οικειότητα της γλώσσας του φόρουμ, να εγγράφονται στο δικό μας, λες και ο κυβερνοχώρος είναι πενιχρός σε άριστα fora που χρησιμοποιούν προσιτή γλώσσα στον εκάστοτε ενδιαφερόμενο.

Εννοείται ότι όλοι είναι ευπρόσδεκτοι στο δικό μας φόρουμ, και με χαρά επιθυμούμε πλούτο ιδεών. Όμως πρέπει παράλληλα να τηρούνται ακαδημαϊκοί κανόνες με απόλυτη διαφάνεια.

Δημοσθένης1043 · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 7:21 pm
Να που επιβεβαιώνομαι.

Στο λινκ εδώ θα βρούμε ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια λύση στο Stack Exchange, γραμμένη από κάποιον άλλο, πάντως όχι τον Δημοσθένη1043. Ακόμη και το τυπογραφικό σφάλμα στην δεύτερη γραμμή της λύσης, που στο Stack Exchange διορθώθηκε με κόκκινο μελάνι, ήλθε με κόκκινο και στο mathematica. Τι σύμπτωση!

Όλα αυτά με ξενίζουν.

Από την αρχή μου φαινόταν περίεργο ότι άτομα χωρίς την οικειότητα της γλώσσας του φόρουμ, να εγγράφονται στο δικό μας, λες και ο κυβερνοχώρος είναι πενιχρός σε άριστα fora που χρησιμοποιούν προσιτή γλώσσα στον εκάστοτε ενδιαφερόμενο.

Εννοείται ότι όλοι είναι ευπρόσδεκτοι στο δικό μας φόρουμ, και με χαρά επιθυμούμε πλούτο ιδεών. Όμως πρέπει παράλληλα να τηρούνται ακαδημαϊκοί κανόνες με απόλυτη διαφάνεια.

Ρωτώ ειλικρινά πώς μπορεί να αξιολογηθεί αυτό το αναπόσπαστο μέρος. $\displaystyle{\displaystyle{ \int _{k\pi + \frac {\pi}{2}} ^{(k+1)\pi + \frac {\pi}{2}} \dfrac {y}{1+y^2} \sin (\tan y) dy}}$

#10

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 7:33 pm
Ρωτώ ειλικρινά πώς μπορεί να αξιολογηθεί αυτό το αναπόσπαστο μέρος. $\displaystyle{\displaystyle{ \int _{k\pi + \frac {\pi}{2}} ^{(k+1)\pi + \frac {\pi}{2}} \dfrac {y}{1+y^2} \sin (\tan y) dy}}$

Περίεργο που ρωτάς διότι στην λύση που αντέγραψες από το Stack Exchange, στην γραμμή

, υπάρχει ακριβώς το ίδιο ολοκλήρωμα. Απλά έφτασα εκεί με πιο σύντομο δρόμο. Αν δεν έχεις πρόβλημα με την λύση που παρέθεσες, γιατί έχεις με την δική μου; Άλλωστε, δεν έγραψα πλήρη λύση (όπως το σημείωσα ρητά) αλλά έκανα μόνο περιγρταφή των κυρίων βημάτων.

Τέρμα. Δεν επανέρχομαι καθώς έχω εξαντλήσει αυτά που έχω να πω.

Θα παρακαλούσα τους Γενικούς Συντονιστές να κλειδώσουν το θέμα, έστω αφού απαντήσει (αν επιθυμεί) ο Δημοσθένης1043. Λέω, αφού απαντήσει, για να μην το εκλάβει ως προσπάθεια να του στερήσουμε αυτήν την δυνατότητα.

Δημοσθένης1043 · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 7:42 pm

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 21, 2023 7:33 pm
Ρωτώ ειλικρινά πώς μπορεί να αξιολογηθεί αυτό το αναπόσπαστο μέρος. $\displaystyle{\displaystyle{ \int _{k\pi + \frac {\pi}{2}} ^{(k+1)\pi + \frac {\pi}{2}} \dfrac {y}{1+y^2} \sin (\tan y) dy}}$
Περίεργο που ρωτάς διότι στην λύση που αντέγραψες από το Stack Exchange, στην γραμμή , υπάρχει ακριβώς το ίδιο ολοκλήρωμα. Απλά έφτασα εκεί με πιο σύντομο δρόμο. Αν δεν έχεις πρόβλημα με την λύση που παρέθεσες, γιατί έχεις με την δική μου; Άλλωστε, δεν έγραψα πλήρη λύση (όπως το σημείωσα ρητά) αλλά έκανα μόνο περιγρταφή των κυρίων βημάτων.

Τέρμα. Δεν επανέρχομαι καθώς έχω εξαντλήσει αυτά που έχω να πω.

Θα παρακαλούσα τους Γενικούς Συντονιστές να κλειδώσουν το θέμα, έστω αφού απαντήσει (αν επιθυμεί) ο Δημοσθένης1043. Λέω, αφού απαντήσει, για να μην το εκλάβει ως προσπάθεια να του στερήσουμε αυτήν την δυνατότητα.

Ήλπιζα να λάβω νέες απαντήσεις, αλλά δεν πειράζει, οι συντονιστές μπορούν να κλειδώσουν τη θέση

σκληρό ολοκλήρωμα

σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Re: σκληρό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση