Άσκηση

#1

έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση με συνεχή 2η παράγωγο,
$\displaystyle{a<b, f'(a)=f'(b), A(a,f(a)) B(b,f(b)}$
και το πλήθος των σημείων τομής των $\displaystyle{AB,C_f}$ στο $\displaystyle{(a,b) }$ είναι $\displaystyle{n}$

Ζητώ ΣΥΓΝΩΜΗ!
συμπληρωνω

$\displaystyle{f'(x)\ne \frac{f(a)-f(b)}{a-b} ,\forall x \in (a,b)}$

1.Nα δειχθεί ότι $\displaystyle{n}$ περιττός

2.Να δειχθεί ότι υπάρχει δέσμη $\displaystyle{n+2}$ παράλληλων εφαπτομένων ευθειών της $\displaystyle{C_f}$ στο $\displaystyle{[a,b]}$

3.Εξετάστε αν σημεία τομής των $\displaystyle{AB,C_f}$ είναι σημεία καμπής της $\displaystyle{C_f}$

#2

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 06, 2023 9:39 am
έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση με συνεχή 2η παράγωγο,
$\displaystyle{a<b, f'(a)=f'(b), A(a,f(a)) Β(b,f(b)}$
και το πλήθος των σημείων τομής της $\displaystyle{AB,C_f}$ στο $\displaystyle{(a,b) }$ είναι $\displaystyle{n}$

1.Nα δειχθεί ότι $\displaystyle{n}$ περιττός

2.Να δειχθεί ότι υπάρχει δέσμη $\displaystyle{n+2}$ παράλληλων εφαπτομένων ευθειών της $\displaystyle{C_f}$ στο $\displaystyle{[a,b]}$

3.Εξετάστε αν σημεία τομής των $\displaystyle{AB,C_f}$ είναι σημεία καμπής της $\displaystyle{C_f}$

.
Ροδόλφε, κάποια προσθήκη πρέπει να κάνεις στις υποθέσεις γιατί αλλιώς δεν ισχύει το συμπέρασμα.

Για παράδειγμα η f(x)=(x+2)^2(x-2)^2(x+1)(x-1)

στο $[-2,\, +2]$ έχει f'(-2)=f'(2)=0

αλλά το

είναι άρτιος.

abgd · #3

R BORIS έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 06, 2023 9:39 am
έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση με συνεχή 2η παράγωγο,
$\displaystyle{a<b, f'(a)=f'(b), A(a,f(a)) Β(b,f(b)}$
και το πλήθος των σημείων τομής της $\displaystyle{AB,C_f}$ στο $\displaystyle{(a,b) }$ είναι $\displaystyle{n}$

1.Nα δειχθεί ότι $\displaystyle{n}$ περιττός

2.Να δειχθεί ότι υπάρχει δέσμη $\displaystyle{n+2}$ παράλληλων εφαπτομένων ευθειών της $\displaystyle{C_f}$ στο $\displaystyle{[a,b]}$

3.Εξετάστε αν σημεία τομής των $\displaystyle{AB,C_f}$ είναι σημεία καμπής της $\displaystyle{C_f}$

Δεν ισχύει αυτό!

Αν $\displaystyle{f(x)=\sin{x}}$ , $\displaystyle{a=-\frac{5\pi}{2}, b=\frac{7\pi}{2} }$

η ευθεία $\displaystyle{AB}$ έχει με την $\displaystyle{C_f}$ δύο κοινά σημεία στο διάστημα $\displaystyle{\left(-\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right) }$ .

Απάντησα συγχρόνως με το Μιχάλη... το αφήνω ως δεύτερο αντιπαράδειγμα.

#4

Ζητώ ΣΥΓΝΩΜΗ!
συμπληρωνω στην εκφώνηση
$\displaystyle{f'(x)\ne \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }$ , $\displaystyle{\forall x \in (a,b)}$

abgd · #5

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2023 4:49 am
$\displaystyle{f'(x)\ne \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }$ , $\displaystyle{\forall x \in (a,b)}$

Ροδόλφε... ούτε αυτό είναι δυνατό να συμβεί. Έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα Μέσης Τιμής.

#6

εχετε δικιο
ηθελα να εξασφαλισω 1 σημειο τομης των Cf , AB kαι μπερδευτηκα
και παλι ΣΥΓΝΩΜΗ
εγκαταλειπω

Άσκηση

Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση