Όριο και Ολοκλήρωμα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να υπολογίσετε το όριο

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2 \int_{0}^{1/n} x^{x+1} dx,$

αν αυτό υπάρχει.

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 9:34 pm
Να υπολογίσετε το όριο

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2 \int_{0}^{1/n} x^{x+1} dx,$

αν αυτό υπάρχει.

Aπάντηση: $\dfrac {1}{2}$

Επειδή το $(x\ln x)'= 1+ \ln x$ είναι αρνητικό αν $0<x< e^{-1}$ , έπεται ότι η $x\ln x$ είναι φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. Άρα το ίδιο συμβαίνει και για την $x^x = e^{x\ln x}$ . Επίσης αφού (άμεσο) $\displaystyle{\lim _{x \to 0+ }x\ln x =0}$ , η $\displaystyle{x^x = e^{x\ln x}}$ είναι άνω φραγμένη από την e^0=1

. Οπότε για μεγάλα

ώστε το $\dfrac {1}{n}$ να είναι στο διάτημα $( 0, e^{-1})$ , έχουμε για κάθε

με $0< x \le \frac {1}{n}$ ότι

$\left ( \dfrac {1}{n} \right ) ^{1/n} \le x^x \le 1$ , ισοδύναμα $\dfrac {1}{\sqrt [n] n }\le x^{x} }\le 1$ και άρα $\dfrac {x}{\sqrt [n] n }\le x^{x+1} }\le x$ .

Έχουμε λοιπόν

$\displaystyle{ n^2 \int_{0}^{1/n} x^{x+1} dx \le n^2 \int_{0}^{1/n} x dx = \dfrac {1}{2} n^2 \left ( \dfrac {1}{n} \right ) ^2= \dfrac {1}{2}}$

Επίσης,

$\displaystyle{ n^2 \int_{0}^{1/n} x^{x+1} dx \ge n^2 \int_{0}^{1/n} \dfrac {1}{\sqrt [n] n } x dx =\dfrac {n^2}{\sqrt [n] n } \dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {1}{n} \right ) ^2= \dfrac {1}{\sqrt [n] n } \dfrac {1}{2} \to \dfrac {1}{2} }$

Kαι λοιπά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2023 9:34 pm
Να υπολογίσετε το όριο

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2 \int_{0}^{1/n} x^{x+1} dx,$

αν αυτό υπάρχει.

Αλλιώς.
Αρκεί να βρούμε το

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2}\int_{0}^{x} f(t) dt$

DHL

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{2x}$

κλπ

Όριο και Ολοκλήρωμα!

Όριο και Ολοκλήρωμα!

Re: Όριο και Ολοκλήρωμα!

Re: Όριο και Ολοκλήρωμα!

Μέλη σε σύνδεση