Μη τετράγωνα φυσικών αριθμών

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλους τους φυσκούς αριθμούς

, για τους οποίους το γινόμενο n(n+a)

να μην είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού για κανένα φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2023 3:36 pm
Να βρείτε όλους τους φυσκούς αριθμούς , για τους οποίους το γινόμενο να μην είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού για κανένα φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό .

Απάντηση: μόνο αν

ίσον

ή

. Πράγματι

α) Αν a=1

. Τότε ο

δεν είναι ποτέ τέλειο τετράγωνο επειδή είναι γνήσια μεταξύ των διαδοχικών τελείων τετραγώνων n^2

και

(άμεσο).

β) Αν a=2

. Τότε ο

δεν είναι ποτέ τέλειο τετράγωνο επειδή είναι γνήσια μεταξύ των διαδοχικών τελείων τετραγώνων n^2

και

(άμεσο).

γ) Αν a=4

. Τότε ο

δεν είναι ποτέ τέλειο τετράγωνο επειδή είναι γνήσια μεταξύ των διαδοχικών τελείων τετραγώνων (n+1)^2

και

. Πράγματι (n+1)^2 < n(n+4) < (n+2)^2

, ισοδύναμα 1<2n

και

, αντίστοιχα, που ισχύουν.

Για όλα τα άλλα

θα δείξουμε ότι υπάρχει

τέτοιο ώστε το n(n+a)

είναι τέλειο τετράγωνο. Τα παρακάτω εξαντλούν όλες τις περιπρώσεις.

δ) a=2N+1

για $N\ge 1$ . Παίρνουμε n=N^2

, οπότε

(τέλειο τετράγωνο).

ε) a= 4N

για $N\ge 2$ . Παίρνουμε n=(N-1)^2

, οπότε

(τέλειο τετράγωνο).

στ) a= 4N+2

για $N\ge 1$ . Παίρνουμε n=2N^2

, οπότε

(τέλειο τετράγωνο).

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2023 3:36 pm
Να βρείτε όλους τους φυσκούς αριθμούς , για τους οποίους το γινόμενο να μην είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού για κανένα φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό .

Για $\displaystyle{a=1}$ έχουμε: $\displaystyle{n(n+a)=n(n+1)=n^2 +n}$ .

Όμως $\displaystyle{n^2 <n^2 +n<(n+1)^2}$ , για κάθε $\displaystyle{n=1,2,3, ...}$ . 'Αρα ο αριθμός μας δεν είναι τετράγωνος για καμία τιμή του $\displaystyle{n}$

Συνεπώς, όταν $\displaystyle{a=1}$ έχουμε το ζητούμενο.

Για $\displaystyle{a=2}$ , έχουμε: $\displaystyle{n^2 <n^2 +2n<(n+1)^2}$ , $\displaystyle{n=1,2,3, ...}$ .

Συνεπώς και όταν $\displaystyle{a=2}$ , έχουμε το ζητούμενο.

Ας δούμε τώρα τι γίνεται με τις άλλες περιπτώσεις:

(1) Έστω $\displaystyle{a=4k}$ , με $\displaystyle{k=1,2,3, ...}$

Τότε $\displaystyle{n(n+1)=4k(4k+1)}$ . Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{n=(k-1)^2}$ , με $\displaystyle{k\neq 1}$ , έχουμε:

$\displaystyle{n(n+a)=(k-1)^2 [(k-1)^2 +4k]=(k-1)^2 (k+1)^2 =[(k-1)(k+1)]^2}$

και άρα όταν $\displaystyle{a=4k}$ με $\displaystyle{k=2,3,...}$ , δεν έχουμε το ζητούμενο.

Για $\displaystyle{k=1}$ παίρνουμε $\displaystyle{a=4}$ και επειδή $\displaystyle{(n+1)^2 <n^2 +4n<(n+2)^2}$ , για κάθε $\displaystyle{n=1,2,3,...}$ , συμπεραίνουμε ότι για

$\displaystyle{a=4}$ 'έχουμε το ζητούμενο.

(2) Έστω $\displaystyle{a=4k+1}$ .με $\displaystyle{k=1,2,3,...}$ . Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{n=4k^2}$ , έχουμε:

$\displaystyle{n(n+a)=4k^2 (4k^2 +4k+1)=4k^2 (2k+1)^2 =[2k(2k+1)]^2}$

και άρα όταν $\displaystyle{a=4k+1}$ , με $\displaystyle{k=1,2,3, ...}$ , δεν έχουμε το ζητούμενο.

(3) Έστω $\displaystyle{a=4k+2}$ , με $\displaystyle{k=1,2,3,...}$ . Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{n=2k^2}$ , έχουμε:

$\displaystyle{n(n+a)=2k^2 (2k^2 +4k+2)=4k^2 (k+1)^2 =[2k(k+1)]^2}$

και άρα όταν $\displaystyle{a=4k+2}$ , με $\displaystyle{k=1,2,3,...}$ , δεν έχουμε το ζητούμενο.

(4) Έστω $\displaystyle{a=4k+3}$ , με $\displaystyle{k=0,1,2,...}$ . Τότε ομοίως παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{n=(2k+1)^2}$ δεν έχουμε το ζητούμενο.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Μόνο για $\displaystyle{a\in \{1,2,4\}}$ o αριθμός $\displaystyle{n(n+a)}$ δεν μπορεί να είναι τετράγωνος για οποιαδήποτε τιμή

του θετικού ακεραίου $\displaystyle{n}$

Είδα ότι όσο έγραφα την λύση, ο φίλος μου ο Λάμπρος έγραψε με παρόμοιο και πιο σύντομο τρόπο μια ωραία λύση.

Μη τετράγωνα φυσικών αριθμών

Μη τετράγωνα φυσικών αριθμών

Re: Μη τετράγωνα φυσικών αριθμών

Re: Μη τετράγωνα φυσικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση