Ώρα εφαπτομένης 159

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 159.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Ο μοβ κύκλος εφάπτεται στη διάμετρο και στο σημείο T(3,4)

του ημικυκλίου .

Η εφαπτομένη του κύκλου από το

και η ευθεία

τέμνονται στο σημείο

.

α) Κατασκευάστε το σχήμα ...... β)Υπολογίστε την $\tan\theta$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 7:52 pm
Ώρα εφαπτομένης 159.png Ο μοβ κύκλος εφάπτεται στη διάμετρο και στο σημείο του ημικυκλίου .

Η εφαπτομένη του κύκλου από το και η ευθεία τέμνονται στο σημείο .

α) Κατασκευάστε το σχήμα ...... β)Υπολογίστε την $\tan\theta$

$\overrightarrow {AT} = \left( {8,4} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {BT} = \left( { - 2,4} \right)$ . Ας είναι $D\,\,,\,\,E$ τα σημεία επαφής του κύκλου με τον οριζόντιο άξονα και με την εφαπτομένη από το

.

Η

είναι διχοτόμος του ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle TAB$ . Επειδή $\omega = 45^\circ + \phi \Rightarrow \tan \omega = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 3$ , έτσι $TD:\,y - 4 = 3\left( {x - 3} \right)$ που για y = 0

δίδει ${x_D} = \dfrac{5}{3}$ . Το κέντρο

του κύκλου είναι το σημείο τομής των : $DK \bot Ox\,\,\,,\,\,OT$ δηλαδή:

$\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{5}{3} \hfill \\ y = \dfrac{4}{3}x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow K\left( {\dfrac{5}{3},\dfrac{{20}}{9}} \right)$ και συνεπώς έχει εξίσωση : $\boxed{{{\left( {x - \dfrac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( {y - \dfrac{{20}}{9}} \right)}^2} = {{\left( {\dfrac{{20}}{9}} \right)}^2}}$ .

: Ωρα εφαπτομένης 159.png (50.91 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

Η

είναι μεσοκάθετος της χορδής

. Έστω

το σημείο τομής τους.

$\overrightarrow {OK} = \left( {\dfrac{5}{3},\dfrac{{20}}{9}} \right)\, \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {\dfrac{5}{3} + 5,\dfrac{{20}}{9}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {\dfrac{{20}}{3},\dfrac{{20}}{9}} \right)$ με κλίση: $\lambda = \dfrac{1}{3}$

$M:\,\,\left\{ \begin{gathered} y = - 3\left( {x - \dfrac{5}{3}} \right) \hfill \\ y = - 3x + 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M\left( {1,2} \right) \Rightarrow E\left( {2 - \dfrac{5}{3},4 - 0)} \right)$ , δηλαδή : $E\left( {\dfrac{1}{3},4} \right)$

Τώρα εύκολα έχω : $\overrightarrow {AE} = \left( {\dfrac{{16}}{3},4} \right)\,\,$ με κλίση $\dfrac{3}{4}$ , άρα : $\boxed{\tan \theta = \dfrac{{ - 2 - \dfrac{3}{4}}}{{1 + \left( { - 2} \right)\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{11}}{2}}$ .

Παρατήρηση .

Η κατασκευή του κύκλου μπορεί να γίνει και με άλλους τρόπους.

Με την τομή της ευθείας με την παραβολή εστίας και διευθετούσας τον οριζόντιο άξονα . Έτσι ορίζεται το κέντρο

Με Ευκλείδεια Γεωμετρία :

Φέρνω την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο και τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο .

Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {J_{}^{}}$ με την διασταυρώνονται στο κέντρο του κύκλου που θέλω .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 7:52 pm
Ώρα εφαπτομένης 159.png Ο μοβ κύκλος εφάπτεται στη διάμετρο και στο σημείο του ημικυκλίου .

Η εφαπτομένη του κύκλου από το και η ευθεία τέμνονται στο σημείο .

α) Κατασκευάστε το σχήμα ...... β)Υπολογίστε την $\tan\theta$

Αλλιώς για την κατασκευή.

: Εφ-159.Κ.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Συμπληρώνω τον κύκλο και έστω

ο νότιος πόλος. Η

τέμνει την

στο

και η κάθετη από το

στη διάμετρο τη

στο κέντρο

του ζητούμενου κύκλου.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2023 9:21 am

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 7:52 pm
Ώρα εφαπτομένης 159.png Ο μοβ κύκλος εφάπτεται στη διάμετρο και στο σημείο του ημικυκλίου .

Η εφαπτομένη του κύκλου από το και η ευθεία τέμνονται στο σημείο .

α) Κατασκευάστε το σχήμα ...... β)Υπολογίστε την $\tan\theta$
Αλλιώς για την κατασκευή. Εφ-159.Κ.png
Συμπληρώνω τον κύκλο και έστω ο νότιος πόλος. Η τέμνει την στο και η κάθετη από το στη διάμετρο τη στο κέντρο του ζητούμενου κύκλου.

. Ευχαριστώ Γιώργο

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 04, 2023 7:52 pm
Ώρα εφαπτομένης 159.png Ο μοβ κύκλος εφάπτεται στη διάμετρο και στο σημείο του ημικυκλίου .

Η εφαπτομένη του κύκλου από το και η ευθεία τέμνονται στο σημείο .

β)Υπολογίστε την $\tan\theta$

β) Εύκολα βρίσκω $\displaystyle AT = 4\sqrt 5 ,BT = 2\sqrt 5.$ Είναι ακόμα, $\displaystyle S\widehat AB = 2\varphi$ και $\displaystyle \tan B = 2.$ Η

είναι εκ

κατασκευής (#3) διχοτόμος της $A\widehat TB,$ οπότε $\displaystyle AD = \frac{{20}}{3},DB = \frac{{10}}{3}$ και επειδή τα τρίγωνα OKD, OTE

είναι όμοια, εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle OD = \frac{5}{3},KD = \frac{{20}}{9}.$

: Εφ-159.Κ2.png (23.8 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Έχω λοιπόν, $\displaystyle \tan \varphi = \frac{{KD}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan 2\varphi = \frac{3}{4}.$ Στο τρίγωνο SAB

είναι:

$\displaystyle \tan \theta + \tan 2\varphi + \tan B = \tan \theta \cdot \tan 2\varphi \cdot \tan B \Leftrightarrow \tan \theta + \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{2}\tan \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{11}}{2}}$

Ώρα εφαπτομένης 159

Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Μέλη σε σύνδεση