Σταθερό άθροισμα σε 3D

∫ot.T. · #1

Δίνονται σημεία P, R με συντεταγμένες (3,0,0), (-3,0,0) αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων. Ονομάζουμε C τον
γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ με ιδιότητα MP+MR=10. Θεωρούμε σημείο Κ $\left ( x_{1},y_{1},z_{1} \right )$ $\in C$
και διάνυσμα $\vec{a}=\left \langle\frac{x_{1}}{25},\frac{y_{1}}{16},\frac{z_{1}}{16} \right \rangle$ . Η ευθεία ε: $\left ( \vec{r}-\overrightarrow{OK} \right )\times \vec{a}=0$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου PKR στο Q.

Να αποδειχθεί ότι KS+KT=10, όπου S,T τα ίχνη του Q στις KP, KR αντίστοιχα.

∫ot.T. · #2

Επαναφορά!

∫ot.T. · #3

Ο γεωμετρικός τόπος που αναφέρεται θα είναι μία έλλειψη, όπου

$a=\dfrac{MP+MR}{2}=5$

$b=c=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{PR}{2} \right )^{2}}=4$

Άρα η έλλειψη εκφράζεται μέσω της συνάρτησης:

$f(x,y,z)=\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{16}=1$

Παρατηρούμε για το σημείο

ότι

$\nabla f(x_{1},y_{1},z_{1})=2\left \langle \dfrac{x_{1}}{25},\dfrac{y_{1}}{16},\dfrac{z_{1}}{16} \right \rangle=2\vec{a}$

Οπότε το διάνυσμα $\vec{a}$ είναι κάθετο στο επίπεδο που εφάπτεται της έλλειψης στο

.
Επιπλέον η ευθεία (ε) έχει την διεύθυνση του $\vec{a}$ και διέρχεται από το

.
Άρα από τις ιδιότητες της έλλειψης η ευθεία (ε) διχοτομεί την γωνία $\widehat{PKR}$ .

Τελικά, αφού το

είναι σημείο της (ε) έχουμε QS=QT

και με μία σύγκριση τριγώνων έχουμε SP=TR

Άρα

, όπως θέλαμε.

Σταθερό άθροισμα σε 3D

Σταθερό άθροισμα σε 3D

Re: Σταθερό άθροισμα σε 3D

Re: Σταθερό άθροισμα σε 3D

Μέλη σε σύνδεση