Εύρεση συνάρτησης

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $f(1)\ne f(-1)$ και $f(m+n)^2 \vert (f(m)-f(n))$ για όλους τους $m,n\in \mathbb{Z}$ .

Παρατήρηση. $a\vert b$ σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος

τέτοιος ώστε b=ka

. Για παράδειγμα, $6\vert 42$ , $3\vert-6$ , $-42\vert0$ και $0\vert 0$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Batapan · #2

Η εκφώνηση είναι σίγουρα f(m+n)^2 | f(m)-f(n)

?
Επειδή ετσι , για n=0

θα είναι

$f(m)^2 | f(m)-f(0) \rightarrow f(m)^2 | f(m)f(0)$

Άρα f(m)|f(0)

Εδώ αν $f(0) \neq 0$ , θα είναι f σταθερή , αλλά αν $f(1) \neq f(-1)$ , δεν μπορεί f να είναι σταθερή

Πρέπει άρα f(0)=0

που μας οδηγεί στο f(m)^2 | f(m)

δηλαδή

πάλι f constant
Εδώ θα ισχύει μόνο αν για κάθε m > 0

είναι

και για κάθε m < 0

,

#3

Batapan έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 12:03 pm
Η εκφώνηση είναι σίγουρα ?
...

Ναι.

Batapan έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 12:03 pm
...
Επειδή ετσι , για θα είναι

$f(m)^2 | f(m)-f(0) \rightarrow f(m)^2 | f(m)f(0)$

Άρα
Εδώ αν $f(0) \neq 0$ , θα είναι f σταθερή , αλλά αν $f(1) \neq f(-1)$ , δεν μπορεί f να είναι σταθερή

Πρέπει άρα που μας οδηγεί στο δηλαδή πάλι f constant
Εδώ θα ισχύει μόνο αν για κάθε είναι και για κάθε ,

Η λύση δεν είναι σωστή.

Maria-Eleni Nikolaou · #4

Batapan έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 12:03 pm
…
Άρα
Εδώ αν $f(0) \neq 0$ , θα είναι f σταθερή , αλλά αν $f(1) \neq f(-1)$ , δεν μπορεί f να είναι σταθερή

Πρέπει άρα που μας οδηγεί στο δηλαδή πάλι f constant
Εδώ θα ισχύει μόνο αν για κάθε είναι και για κάθε ,

Καλησπέρα σας. Νομίζω δεν γίνεται f(0)=0

διότι για $m=1 \wedge n=-1$ έχουμε:
$f(0)^2|(f(1)-f(-1)) \Rightarrow f(1)-f(-1)=k\cdot f(0)^2$ , όπου $k\in \mathbb{Z}^*$ . Οπότε από υπόθεση πρέπει $f(0) \neq 0$ .

stranger · #5

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 11:16 am
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $f(1)\ne f(-1)$ και $f(m+n)^2 \vert (f(m)-f(n))$ για όλους τους $m,n\in \mathbb{Z}$ .

Παρατήρηση. $a\vert b$ σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε . Για παράδειγμα, $6\vert 42$ , $3\vert-6$ , $-42\vert0$ και $0\vert 0$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έχουμε $f(n) \neq 0$ για κάθε

.
Αυτό γιατί αν υπήρχε

με

, τότε από τη συναρτησιακή για m=0

θα είχαμε $f^2(n)=0 \mid f(0)$ , άρα f(0)=0

που δεν γίνεται όπως είπε η Μαριλένα.
Τώρα θέτοντας m=0

, παίρνουμε $f(n)^2 \mid f(n)-f(0)$ .
Έστω ότι υπάρχει

με

.
Τότε $\frac{1}{f(n)} - \frac{f(0)}{f^2(n)} \in \mathbb{Z}$ και $|\frac{1}{f(n)} - \frac{f(0)}{f^2(n)}| < |\frac{1}{f(n)}| + |\frac{1}{f(n)}| \leq 1$ .
Άρα $\frac{1}{f(n)} - \frac{f(0)}{f^2(n)} = 0$ , οπότε f(n)=f(0)

άτοπο.
Άρα $|f(n)| \leq |f(0)|$ για κάθε

.
Θέτουμε τώρα m=-n=1

. Άρα $|f(0)|^2 \leq |f(1)-f(-1)| \leq 2|f(0)|$ , επειδή $f(1) \neq f(-1)$ από την συναρτησιακή.
Άρα $|f(0)| \leq 2$ .
Άρα $f(n) \in \{-2,-1,1,2\}$ .
Έστω ότι |f(0)|=2

. Άρα $4 \mid f(1) - f(-1) \neq 0$ , οπότε |f(1)|=|f(-1)|=2

.
Από τη συναρτησιακή παίρνουμε $f^2(n+1) \mid f(n) - f(1)$ και $f^2(n-1) \mid f(n) - f(-1)$ .
Οπότε |f(n)|=2

η

και επίσης |f(n)|=2

η

.
Οπότε βλέπουμε ότι αν |f(n)|=2

τότε

και επίσης αν |f(n)|=2

τότε

.

Χρησιμοποιώντας επαγωγή τώρα παίρνουμε |f(n)|=2

για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ .

Οπότε τελικά οι συναρτήσεις είναι οι $f(n) \in \{-1,1\}$ με f(1)f(-1)=-1

και οι $f(n) \in \{-2,2\}$ με f(1)f(-1)=-4

.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση