Υπάρχει συνάρτηση;

ksofsa · #1

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} ^2\rightarrow \mathbb{R}$ ,σύνθεση γνωστών κλασικών συναρτήσεων, τέτοια ώστε, για κάθε άυξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ , να ισχύει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+1})$ συγκλίνει;(Έχω βρει μέχρι τώρα μία τέτοια συνάρτηση.)

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,σύνθεση γνωστών κλασικών συναρτήσεων, τέτοια ώστε, για κάθε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ , να ισχύει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n})$ συγκλίνει;(Δεν έχω απάντηση.)

Σχόλιο: Λέγοντας γνωστές κλασικές συναρτήσεις εννοούμε τις πολυωνυμικές, τις ρητές, τις τριγωνομετρικές, τις αντίστροφες τριγωνομετρικές, τις εκθετικές, τις λογαριθμικές ,τις υπερβολικές.Δεν είναι αυστηρός ορισμός, αλλά θέλω να δώσω ένα πλαίσιο για τις συναρτήσεις που αναζητούμε.

ksofsa · #2

Για το δεύτερο ερώτημα έχω νομίζω αρνητική απάντηση, αλλά δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για την απόδειξη.

#3

ksofsa έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 09, 2023 8:47 am
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} ^2\rightarrow \mathbb{R}$ ,σύνθεση γνωστών κλασικών συναρτήσεων, τέτοια ώστε, για κάθε άυξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ , να ισχύει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+1})$ συγκλίνει;(Έχω βρει μέχρι τώρα μία τέτοια συνάρτηση.)

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,σύνθεση γνωστών κλασικών συναρτήσεων, τέτοια ώστε, για κάθε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ , να ισχύει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n})$ συγκλίνει;(Δεν έχω απάντηση.)

Σχόλιο: Λέγοντας γνωστές κλασικές συναρτήσεις εννοούμε τις πολυωνυμικές, τις ρητές, τις τριγωνομετρικές, τις αντίστροφες τριγωνομετρικές, τις εκθετικές, τις λογαριθμικές ,τις υπερβολικές.Δεν είναι αυστηρός ορισμός, αλλά θέλω να δώσω ένα πλαίσιο για τις συναρτήσεις που αναζητούμε.

Κώστα, για το 1) σου κάνει η $f(x,y) = \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{y}$ ; Σε αυτή την περίπρτωση το εν λόγω άθροισμα είναι τηλεσκοπικό με

$\sum_{n=1}^{N }f(a_{n},a_{n+1})= \sum_{n=1}^{N }\left ( \dfrac {1}{a_n}-\dfrac {1}{a_{n+1}}\right ) = \dfrac {1}{a_1}-\dfrac {1}{a_{N+1}} \rightarrow \dfrac {1}{a_1}$ (συγκλίνει)

Παραλλαγές της όπως η $f(x,y) = \dfrac {1}{x^2}-\dfrac {1}{y^2}$ ή $f(x,y) = e^{-x} - e^{-y}$ επίσης έχουν την ιδιότητα της σύγκλισης. Σου κάνουν ως επιτρεπτές συναρτήσεις;

ksofsa · #4

Καλημέρα.

Κύριε Λάμπρου, οι συναρτήσεις που προτείνετε πράγματι ικανοποιούν τις ζητούμενες ιδιότητες. Για να γίνει η άσκηση ενδεχομένως πιο ενδιαφέρουσα και λιγότερο τετριμμένη, θέτω τον επιπλέον γενικό περιορισμό να ισχύει f(x,y)=f(y,x)

, να είναι δηλαδή η συνάρτηση συμμετρική ως προς x,y

. Η συνάρτηση που έχω βρει ικανοποιεί αυτήν την ιδιότητα.

ksofsa · #5

Ας επισημάνω έγκαιρα ότι η συνάρτηση που βρήκα δεν είναι καθόλου εύκολο να βρεθεί. Ως κατασκευαστής της άσκησης, δεν έθεσα πρώτα το ερώτημα και μετά βρήκα τη συνάρτηση. Μου προέκυψε κάπως η συνάρτηση με αυτήν την ιδιότητα και μετά κατασκεύασα το ερώτημα αν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις. Θα έχει ενδιαφέρον να δούμε , τώρα που έθεσα και τον περιορισμό f(x,y)=f(y,x)

, αν υπάρχουν ενδεχομένως απλούστερες συναρτήσεις που να ικανοποιούν τα ζητούμενα. Ίσως και με τον περιορισμό να υπάρχουν απλές συναρτήσεις, που δεν τις έχω εντοπίσει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ksofsa έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 09, 2023 8:47 am
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} ^2\rightarrow \mathbb{R}$ ,σύνθεση γνωστών κλασικών συναρτήσεων, τέτοια ώστε, για κάθε άυξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ , να ισχύει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+1})$ συγκλίνει;(Έχω βρει μέχρι τώρα μία τέτοια συνάρτηση.)

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,σύνθεση γνωστών κλασικών συναρτήσεων, τέτοια ώστε, για κάθε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ , να ισχύει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n})$ συγκλίνει;(Δεν έχω απάντηση.)

Σχόλιο: Λέγοντας γνωστές κλασικές συναρτήσεις εννοούμε τις πολυωνυμικές, τις ρητές, τις τριγωνομετρικές, τις αντίστροφες τριγωνομετρικές, τις εκθετικές, τις λογαριθμικές ,τις υπερβολικές.Δεν είναι αυστηρός ορισμός, αλλά θέλω να δώσω ένα πλαίσιο για τις συναρτήσεις που αναζητούμε.

Για το 2) δεν υπάρχει συνάρτηση γενικώς.
Εκτός της τετριμένης περίπτωσης που f(x)=0,x>x_0

Συγκεκριμένα αν το σύνολο $\left \{ x:f(x)\neq 0 \right \}$

δεν είναι άνω φραγμένο τότε υπάρχει αύξουσα ακολουθία με $a_{n}\rightarrow \infty$
και η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n})$ αποκλίνει.

Επιπλέον αν η συνάρτηση είναι συνεχής τότε υπάρχει και γνησίως αύξουσα ακολουθία.

ksofsa · #7

Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Σταύρο για την απόδειξη στο (2), να δώσω τη συνάρτηση που βρήκα για το (1), με την επιπλέον απαίτηση της συμμετρικότητας:

$f(x,y)=\arccos \dfrac{xy+1}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}$ .

Θα επανέλθω σύντομα, αν δεν απαντηθεί , με την απόδειξη του γιατί η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+!})$ συγκλίνει για κάθε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ .

Σχόλιο: Έδωσα μεν την συνάρτηση που είχα υπόψιν, αλλά ενδεχομένως να υπάρχουν και άλλες.

ksofsa · #8

Θα δείξουμε ότι για τη συνάρτηση στο προηγούμενο ποστ , ισχύει:

$\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+1})=\dfrac{\pi }{2}-\arccos \dfrac{1}{\sqrt{a_{1}^2+1}}$

Πράγματι, στο παρακάτω σχήμα, όπου AB=1

, είναι:

$cos\theta _{0}=\dfrac{1}{\sqrt{a_{1}^2+1}}, cos\theta _{n}=\dfrac{a_{n}^2+1+a_{n+1}^2+1-(a_{n+1}-a_{n})^2}{2\sqrt{(a_{n}^2+1)(a_{n+1}^2+1)}}=\dfrac{a_{n}a_{n+1}+1}{\sqrt{(a_{n}^2+1)(a_{n+1}^2+1)}}$

κι επειδή $\sum_{n=0}^{\infty }\theta _{n}=\dfrac{\pi }{2}$ , έχουμε ότι:

$\arccos \dfrac{1}{\sqrt{a_{1}^2+1}}+\sum_{n=1}^{\infty }\arccos \dfrac{a_{n}a_{n+1}+1}{\sqrt{(a_{n}^2+1)(a_{n+1}^2+1)}}=\dfrac{\pi }{2}$ ,

απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Θεωρήσαμε ότι η ακολουθία $a_{n}$ είναι γνησίως αύξουσα, πράγμα που δε βλάπτει τη γενικότητα ,αφού για δύο ίσους διαδοχικούς όρους της ακολουθίας , η συνάρτηση f θα μηδενιζόταν και δε θα επηρέαζε το αποτέλεσμα.

: geogebra-export(6).png (168.11 KiB) Προβλήθηκε 1519 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

ksofsa έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 09, 2023 6:48 pm
Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Σταύρο για την απόδειξη στο (2), να δώσω τη συνάρτηση που βρήκα για το (1), με την επιπλέον απαίτηση της συμμετρικότητας:

$f(x,y)=\arccos \dfrac{xy+1}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}$ .

Θα επανέλθω σύντομα, αν δεν απαντηθεί , με την απόδειξη του γιατί η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+!})$ συγκλίνει για κάθε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ .

Σχόλιο: Έδωσα μεν την συνάρτηση που είχα υπόψιν, αλλά ενδεχομένως να υπάρχουν και άλλες.

Η ιδέα είναι του Μιχάλη.
Παίρνουμε

$f(x,y)=\sqrt{(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2})^2}$

και πολλές άλλες.

ksofsa · #10

Καλησπέρα.

Η άσκηση απλοποιείται πάρα πολύ πλέον.

Δεν πειράζει όμως. Ήταν αφορμή η άσκηση, για να καταγραφεί στο φόρουμ η σειρά

$\arccos \dfrac{1}{\sqrt{a_{1}^2+1}}+\sum_{n=1}^{\infty }\arccos \dfrac{a_{n}a_{n+1}+1}{\sqrt{(a_{n}^2+1)(a_{n+1}^2+1)}}=\dfrac{\pi }{2}$ ,

που ισχύει για οποιαδήποτε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ .

Επιλέγοντας κατάλληλη ακολουθία , μπορούμε να πάρουμε σχέσεις που συνδέουν τη σταθερά $\pi$ με γνωστές ακολουθίες.

Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε την ακολουθία $F_{2n-1}$ και χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις $F_{2n-1}F_{2n+1}+1=F_{2n}^2, F_{2n-1}^2+1=F_{2n-2}F_{2n}$ και $F_{2n-2}F_{2n+2}=F_{2n}^2-1$

παίρνουμε τη σχέση

$\arccos \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sum_{n=1}^{\infty }\arccos \dfrac{F_{2n}}{\sqrt{F_{2n}^2-1}}=\dfrac{\pi }{2}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

ksofsa έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 09, 2023 6:48 pm
Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Σταύρο για την απόδειξη στο (2), να δώσω τη συνάρτηση που βρήκα για το (1), με την επιπλέον απαίτηση της συμμετρικότητας:

$f(x,y)=\arccos \dfrac{xy+1}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}$ .

Θα επανέλθω σύντομα, αν δεν απαντηθεί , με την απόδειξη του γιατί η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty }f(a_{n},a_{n+!})$ συγκλίνει για κάθε αύξουσα και αποκλίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών $a_{n}$ .

Σχόλιο: Έδωσα μεν την συνάρτηση που είχα υπόψιν, αλλά ενδεχομένως να υπάρχουν και άλλες.

Πάλι σε τηλεσκοπική καταλήγει πολύ πιο απλά.
Για x,y>0

είναι
$\arccos \dfrac{xy+1}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}}=|\arccos \dfrac{1}{\sqrt{(x^2+1)}}-\arccos \dfrac{1}{\sqrt{(y^2+1)}}|$

Υπάρχει συνάρτηση;

Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Μέλη σε σύνδεση